Съдържание

Условие Част 1. Как да извадим коркова тапа? (2,5 т.)Част 2. „Ако е така, ако е иначе“ или да изследваме възможности Решение

НЕСФ 2025, 9. клас — Задача 1. Как да извадим коркова тапа? / „Ако е така, ако е иначе“

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2025

Есенно национално състезание по физика, трета възрастова група (IX клас), 2025/2026 г, София · 7 ноември 2025 г. · 10 т.

Условие

Част 1. Как да извадим коркова тапа? (2,5 т.)

В стъклен цилиндър, отворен и от двата си края, се намира коркова тапа с дължина $a$ (Фиг. 1).Тапата се намира на разстояние $a$ от началото на цилиндъра. Трябва да се извади тапата като действа със сила $F$ . Начертайте примерна графика на зависимостта на силата $F$ от разстоянието $x$ , така че тапата да се движи равномерно, докато не се отвори цилиндъра. Обяснете графиката, която сте начертали като дадете съображения за решението си. Съобразете, че силата на триене ( $f = k.N$ ) НЕ зависи от скоростта на движение и от площта на триещите се повърхности (закон на Амонтон-Кулон).

Част 2. „Ако е така, ако е иначе“ или да изследваме възможности

Тяло се движи равнозакъснително по хоризонтална повърхност като за първия интервал от време $t_1$ изминава път $S_1$ . Коефициентът на триене между тялото и повърхността е $k$ . Земното ускорение е $g$ .

А) С какво ускорение $a$ се движи тялото? [1 т.]

Б) Изследвайте какъв път $S_2$ е възможно тялото да измине за следващия, втори интервал от време $t_2$ ? [6,5 т.]

Разгледайте всички възможни случаи. Изразете $S_2$ само чрез дадените величини $S_1$ , $t_1$ , $t_2$ , $g$ и $k$ .

Внимание!!! Обърнете внимание, че не е уточнено в условието дали тялото спира напълно и кога спира.

Решение

Част 1.

За начертан хоризонтален участък ( $F = f$ ) при разстояние $a$ (0,5 т).
За начертана намаляваща сила на триене от $a$ до $2a$ (0,5 т).

За обяснение:

Докато тапата не достигне до ръба на цилиндъра силата на триене е постоянна (0,5 т).
След като тапата е достигнала ръба на цилиндъра силата на триене намалява до нула (0,5 т) в момента, когато тапата излезе. Силата на триене намалява заради намаляване на реакцията на опората $N$ (0,5 т).

Част 2.

А) Ускорението на тялото, използвайки втори закон на Нютон е:

$ma = kmg$ (0,5 т)

$a = kg$ (0,5 т)

Б) Възможни са следните три случая:

Сл. 1: Тялото спира за интервала от време $0 - t_1$ . (0,5 т)

Ако $v_0 \le kgt_1$ следва, че $S_1 = \dfrac{v_0^2}{2kg} \le \dfrac{kgt_1^2}{2}$ (0,5 т) тогава $S_2 = 0$ (0,5 т)

Сл. 2: Тялото спира за интервала от $t_1$ до $t_1 + t_2$ (0,5 т):

Ако $v_0 \ge kgt_1$ . Тогава пътя $S_1 = v_0t_1 - \dfrac{kgt_1^2}{2}$ (0,5 т)

Получаваме за $v_0$ :

$v_0 = \dfrac{1}{t_1}\left(S_1 + \dfrac{kgt_1^2}{2}\right)$ (0,5 т)

Тогава за скоростта $v_1$ към момента $t_1$ :

$v_1 = v_0 - kgt_1$

$v_1 = \dfrac{1}{t_1}\left(S_1 - \dfrac{kgt_1^2}{2}\right)$ (0,5 т)

За да бъде изпълнен втория случай е необходимо и $v_1 \le kgt_2$ (0,5 т). Следователно:

$\dfrac{1}{t_1}\left(S_1 - \dfrac{kgt_1^2}{2}\right) \le kgt_2$

$S_1 \le \dfrac{kgt_1^2}{2} + kgt_1t_2$ (0,5 т)

Изминатия път от тялото $S_2$ е:

$S_2 = \dfrac{v_1^2}{2kg} = \dfrac{1}{2kgt_1^2}\left(S_1 - \dfrac{kgt_1^2}{2}\right)^2$ (0,5 т)

Сл. 3: Към момента $t_1 + t_2$ тялото все още не е спряло. Последното се реализира при $v_1 > kgt_2$ (0,5 т). Тогава:

$S_1 > \dfrac{kgt_1^2}{2} + kgt_1t_2$ (0,5 т)

$S_2 = v_1t_2 - \dfrac{kgt_2^2}{2}$

$S_2 = \dfrac{t_2}{t_1}\left(S_1 - \dfrac{kgt_1^2}{2}\right) - \dfrac{kgt_2^2}{2}$ (0,5 т)

Оригинал в Архива: esenni_2026_9problems.pdf · официални решения: esenni_2026_9solutions.pdf · допълнителни данни: errata.txt