Съдържание

IAO 2004, Всички кръгове — Задача 14. α8. Sunrise

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2004

IX International Astronomy Olympiad · 1 октомври 2004 г.

Внимание: Бележка към темата

Old photocopy scan. Two short passages of the official solutions are lost where the photocopied pages join (problem 4 between pages 4 and 5, the Sunrise solution between pages 13 and 14). The sky maps of the observational round are not in the archive file.

Условие

The White Bear and Penguin (whom was already met in the texts of the VII and VIII International Astronomy Olympiads) decided to meet each other. For this purpose they arrived to Crimea a few days before the IX Olympiad and they decided to observe sunrise at the day of the autumnal equinox. «I shall go to the Eastern point of Crimea and see the sunrise before others», – the Penguin has said. «No, I shall see the sunrise earlier, because I’ll climb to the highest mountain in Crimea – Roman-Kosh», – the Bear parried. Who is right? On how many minutes or seconds earlier will he see the sunrise? Make a table with all data, which you have found or recollected and used in solving the problem. The solution has to include a picture with an image of the Bear on the mountain Roman-Kosh and the Penguin at the coast of the Kerch channel; the necessary linear or angular sizes should be in the picture. Assume that the Earth is spherical. Recollect for yourself the necessary information about the White Bear and the Penguin.
A map of Crimea is attached.
(Note: the answer «Медведь / Bear» or «Пингвин / Penguin» has to be written in English or Russian.)

Outline map of Crimea with a grid of meridians 33°, 34°, 35°, 36° and parallels 45°, 46°; marked are Simferopol / Симферополь, Sevastopol / Севастополь, Simeiz / Симеиз, Yalta / Ялта and m.Roman-Cosh / г. Роман-Кош 1545 м.

Отговори

Решение

Sunrise. Following is the text in Russian, the solution should be easily understand from the formulae.

Восход. Действительно, рассуждения каждого из животных логичны. Примем за начало отсчёта тот момент времени, в который произошёл бы восход Солнца в точке с координатами вершины горы Роман-Кош на уровне моря.

Данные, использованные при решении задачи:

Радиус Земли	R = 6371 км
Высота самой высокой горы Крыма (Роман-Кош)	$h_{RK} = 1545$ м
Долгота самой высокой горы Крыма (Роман-Кош), по карте IAO-04	$\lambda_0 = 34^{\circ}21'$ в.д.
Широта самой высокой горы Крыма (Роман-Кош), по карте IAO-04	$\varphi_B = 44^{\circ}36'$ с.ш.
Долгота самой восточной точки Крыма (мыс Фонарь на берегу Керченского пролива), по карте IAO-04	$\lambda_P = 36^{\circ}40'$ в.д.
Широта самой восточной точки Крыма (мыс Фонарь на берегу Керченского пролива), по карте IAO-04	$\varphi_P = 45^{\circ}26'$ с.ш.
Угловая скорость суточного синодического вращения Земли	$\omega = 1^{\circ}$ / 4 мин
Высота уровня глаз Медведя над уровнем поверхности, на которой он стоит	$h_B = 2$ м
Высота уровня глаз Пингвина над уровнем поверхности, на которой он стоит	$h_P = 1$ м

Поскольку дело происходит в день осеннего равноденствия, линия терминатора проходит по меридиану и моменты восхода солнца не зависят от широты местности. Таким образом, поскольку Пингвин находится на $\Delta\lambda_P = 2^{\circ}19'$ восточнее по долготе, чем наблюдатель «Роман-Кош на уровне моря», он увидит восход раньше на время

t_P = \Delta\lambda_P/\omega,

где $\omega = 1^{\circ}$ / 4 мин – угловая скорость суточного синодического вращения Земли.

t_P \approx 9^{\text{м}\circ}16^{\text{с}}.

Медведь же решил воспользоваться эффектом понижения физического горизонта, забравшись на гору Роман-Кош, высота которой согласно карте равна 1545 м. Понижение физического горизонта можно вычислить по формуле

\Delta\alpha = \arccos(R/(R+h)) \approx ((R+h)^2 - R^2)^{1/2}/R \approx (2h/R)^{1/2}\ \text{(в радианах)},

[illegible: a line is missing where pages 13 and 14 of the photocopy join] размерами Медведя ( $h \approx h_{RK}$ ) Медведя для горе Роман-Кош $h = 1545$ м и понижение горизонта составляет около

\Delta\alpha_B \approx (2\cdot1545\ \text{м}/6371000\ \text{м})^{1/2} \approx 0{,}022\ \text{рад} = 1^{\circ}16'.

(Даже если учесть размеры Медведя, вставшего на задние лапы на горе Роман-Кош, $h = h_{RK} + h_B = 1547$ м, понижение горизонта всё равно составляет около 1°16'

\Delta\alpha_B \approx (2\cdot1547\ \text{м}/6371000\ \text{м})^{1/2} \approx 0{,}022\ \text{рад} = 1^{\circ}16').

Таким образом, в тот момент, когда Медведь увидит восход, для наблюдателя «Роман-Кош на уровне моря» Солнце ещё в 1°16' ниже. На широте около $\varphi_B = 44^{\circ}36'$ для достижения точки восхода Солнце должно пройти по небу путь в $\beta_B = \Delta\alpha_B/\cos\varphi_B \approx 1^{\circ}46'$ . Время, за которое Солнце пройдёт этот путь, равно

t_B = \Delta\alpha_B/(\cos\varphi_B\cdot\omega),

t_B \approx 7^{\text{м}\circ}04^{\text{с}}.

Таким образом, Пингвин увидит рассвет раньше Медведя на время

t_P - t_B = (\Delta\lambda_P - \Delta\alpha_B/\cos\varphi)/\omega \approx 2^{\text{м}\circ}12^{\text{с}}.

Рефракция на ответ не влияет, так как одинаково приближает восход как Пингвину, так и Медведю.
Answer-Ответ: Пингвин-Penguin, на 2 минуты 12 секунд раньше.

Справедливости ради, вычислим эффект от понижения горизонта для Пингвина высотой 1 м:

\Delta\alpha_P \approx (2\cdot1\ \text{м}/6371000\ \text{м})^{1/2} \approx 5{,}6\cdot10^{-4}\ \text{рад} \approx 1{,}9'.

Таким образом, аналогично рассуждениям с Медведем, на широте $\varphi_P = 45^{\circ}26'$ ,

\beta_P = \Delta\alpha_P/\cos\varphi_P \approx 2{,}7'.

Время, за которое Солнце пройдёт этот путь, равно

t_{P1} = \Delta\alpha_P/(\cos\varphi_P\cdot\omega),

t_{P1} \approx 11^{\text{с}}.

В этом случае получаем, что Пингвин увидит рассвет раньше Медведя на время

t_P + t_{P1} - t_B = (\Delta\lambda_P + \Delta\alpha_P/\cos\varphi_P - \Delta\alpha_B/\cos\varphi)/\omega \approx 2^{\text{м}\circ}47^{\text{с}}.

и answer-ответ: Пингвин-Penguin, 2 минуты 23 секунды раньше.

Group α, theoretical round

Data from the “Table of planetary data” may be used for the solving of every problem.
And the White Bear and Penguin are waiting for you on the practical round.

Group β, theoretical round

Data from the “Table of planetary data” may be used for the solving of every problem.
And the White Bear and Penguin are waiting for you in the practical round.

Parameters of orbits. Physical characteristics of some planets, Moon and Sun

Элементы орбит. Физические характеристики некоторых планет, Луны и Солнца

Body, planet	Average distance to central body, in astr. units	Average distance to central body, in mln. km	Sidereal (or analogous) period, in trop. years	Sidereal (or analogous) period, in days	Eccentricity e	Equat. diameter, km	Mass, $10^{24}$ kg	Av. density, g/cm $^3$	Grav. acceler. at surf., m/s $^2$	Max. magn. from Earth **)	Albedo
Солнце Sun	$1{,}6\cdot10^{9}$	$2{,}5\cdot10^{11}$	$2{,}2\cdot10^{8}$	$8\cdot10^{10}$		1392000	1989000	1,409		$-26{,}8^{m}$
Меркурий Mercury	0,387	57,9	0,241	87,97	0,206	4 879	0,3302	5,43	3,70	$-2{,}2^{m}$	0,06
Венера Venus	0,723	108,2	0,615	224,70	0,007	12 104	4,8690	5,24	8,87	$-4{,}7^{m}$	0,78
Земля Earth	1,000	149,6	1,000	365,26	0,017	12 756	5,9742	5,515	9,81		0,36
Луна Moon	0,00257	0,38440	0,0748	27,3217	0,055	3 475	0,0735	3,34	1,62	$-12{,}7^{m}$	0,07

**) Для внешних планет и Луны – в среднем противостоянии.
**) For outer planets and Moon – in mean opposition.

Оригинал в Архива: iao2004.pdf