Съдържание

Условие Превод на заглавията на таблицата Решение

IAO 2007, Теория, Група α, български — Задача 5

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2007

Задачи за теоретичния тур · 29 септември 2007 г.

Обща забележка

Не е изключено въпросите в някои задачи да не са поставени коректно. Някои въпроси (възможно е това да е главният въпрос в задачата, възможно е да е някой подвъпрос) могат да нямат смисъл. В такъв случай трябва да напишете (на руски или на английски) „ситуация невозможна“ или “situation is impossible”. Разбира се, отговорът трябва да е подкрепен с пресмятания или логически разсъждения.

Note for jury and team leaders

The proposed sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations for students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for8pts) may be shorter.

Source photograph damage

The second and fourth official solution photographs lose some initial letters or words at the left edge. Ellipses inside the affected solution text mark those source losses. Legible formulas, results and grading remarks are retained; missing letters have not been silently supplied. The solution for question4 contains no explanatory drawing, although the question requests one.

Printed source annotations

The supplied key’s Moon magnitude calculations and approximate values are retained. The source results and formulas are reproduced without scientific correction; punctuation and multiplication spacing are normalized only for mathematical rendering.

Налични материали

Българските условия са самостоятелно ръкописно езиково издание. Приложеният лист съдържа превод на заглавията на колоните на таблицата, без числови данни за планетите; самата числова таблица не е открита сред32-та файла за2007г. Официалните решения са запазени на предоставения английски език, включително отбелязаните загуби по левия край на оригиналните снимки. За задача4 е приложена цялата оригинална цветна фотография.

Източник на изображението

Изображението на Земята и Луната към задача1 е взето от английския лист за същата групаα, към който българското условие съответства.

Особеност на българския текст

Ръкописното условие на задача5 определя земната повърхност като „гладка и сферична“. Космическите кораби с долната си част стоят на тази повърхност; формата на корабите не е определена като сферична. Изписването на оригинала е запазено.

Условие

Извънземни животни (анималоиди) са решили да колонизират Земята. Навигационните прибори на космическите кораби на витулоидите (от лат. vitulus – тюлен) изискват Полярната звезда ( $\alpha=2^{\mathrm h}32^{\mathrm m}$ , $\delta=89^\circ16'$ за епохата в началото на колонизацията) понякога да се намира строго в зенита, а приборите на крокодилоидите изискват тази звезда понякога да е строго на хоризонта. Приборите са монтирани в най-горната точка на космическите кораби, които могат да се приземяват само вертикално. Необходимо е също така всеки прибор да е невидим за пряко наблюдение от подобен прибор на който и да е друг кораб. За всеки тип анималоиди поотделно оценете какъв максимален брой кораби могат да се разположат на Земята. Считайте, че земната повърхност е гладка и сферична, космическите кораби с долната си част стоят на тази повърхност (при което могат да бъдат както на сушата, така и на водната повърхност), а височината на всеки кораб е $h=10$ m.

Превод на заглавията на таблицата

Оригинален лист с превод на заглавията на колоните; липсват числови планетни данни.

Решение

Внимание: Непълно решение

The official solution photograph clips some initial letters/words at the left edge. All legible content is retained and ellipses mark the genuine source loss.

At first we have to find the minimum distance D between two spacecrafts. From the equation

R_E^2+L^2=(R_E+h)^2

where $R_E$ is the Earth’s radius, we may find the distance L to the visible horizon from the top of the spacecraft,

L=(2R_Eh)^{1/2}\approx11.3\ \mathrm{km}.

The minimum distance between two spacecrafts equals to double of this distance, i.e.

D=2L=(8R_Eh)^{1/2}\approx22.6\ \mathrm{km}.

The navigation devices of the spacecrafts of vituloids should stay at the circle with latitude exactly equal to the declination of the Polar Star, i.e. $\varphi=89^\circ16'$ . The length of this circle is

S=2\pi\sin(90^\circ-\varphi)R_E=512\ \mathrm{km}.

So an estimate of the possible number of vituloids spacecrafts is the largest integer number not exceeding

S/D=2\pi\sin(90^\circ-\varphi)R_E/(8R_Eh)^{1/2}\approx22.7.

Thus,

N_V=[S/D]=[2\pi\sin(90^\circ-\varphi)R_E/(8R_Eh)^{1/2}]=22.

$[S/D]$ means the largest integer number not exceeding $S/D$ .

(For a more accurate solution we have to measure the distance not along the circle but directly. The correcting coefficient would be $\sin\alpha/\alpha$ , $\alpha$ is half the angle between meridians of two nearest spacecrafts. The coefficient is too near to 1, $\alpha\approx8.2^\circ$ , $k=0.997$ , so the integer value $[S/D]$ is still equal to 22.)

And the navigation devices of the spacecrafts of crocodiloids should stay not at the circle but in whole belt near equator. The length of this belt is about the equator length, i.e. $A=2\pi R_E=40076$ km, and the width of the belt is twice the value $\sin(90^\circ-\varphi)R_E$ ,

B=2\sin(90^\circ-\varphi)R_E=163.3\ \mathrm{km}.

Been placed in triangular net, there may stay $[B/(D(3)^{1/2}/2)]+1$ lines with $[A/D]$ spacecrafts in every line; or $[B/D]+1$ lines with $[A/(D(3)^{1/2}/2)]$ spacecrafts in every line.

[B/D]=[2\sin(90^\circ-\varphi)R_E/(8R_Eh)^{1/2}]=[\sin(90^\circ-\varphi)(R_E/2h)^{1/2}]=7,

[B/(D(3)^{1/2}/2)]=8,

[A/D]=[2\pi R_E/(8R_Eh)^{1/2}]=[\pi(R_E/2h)^{1/2}]=1774,

[A/(D(3)^{1/2}/2)]=2048.

Calculations give:

([B/(D(3)^{1/2}/2)]+1)\times[A/D]=9\times1774=15\,966,

([B/D]+1)\times[A/(D(3)^{1/2}/2)]=8\times2048=16\,384.

The second number is larger so it should be taken as the answer.

Note: It is not written in the text at what horizon should be the Polar Star: real or mathematical. But the answer does not depend on it. It may only move the belt but not change (as first approximation) its square and so not change the number of spacecrafts.

…e for jury: The important difference between these two situations should be understood by students and accordingly evaluated: …ecrafts of vituloids placed in line and spacecrafts of crocodiloids placed in area.

Answers. 22 spacecrafts of vituloids and 16 384 spacecrafts of crocodiloids.

Оригинал в Архива: bgtheo5.jpg · официални решения: theosol4.jpg · допълнителни данни: bgtheo4.jpg · допълнителни данни: bgtheo5.jpg · допълнителни данни: bgtheo6.jpg · допълнителни данни: alphatheo.jpg · допълнителни данни: photo.JPG · допълнителни данни: theosol2.jpg · допълнителни данни: theosol3.jpg · допълнителни данни: theosol4.jpg