Съдържание

IAO 2007, Теория, Група α, руски — Задача 1. Земля и Луна.

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2007

Задачи теоретического тура · 29 септември 2007 г.

Общее замечание

Не исключено, что не во всех задачах вопросы поставлены корректно. Некоторые вопросы (возможно, главный вопрос задачи, возможно – подвопрос) могут не иметь смысла. В этом случае следует написать в ответе (по-русски или по-английски): «ситуация невозможна – situation is impossible». Естественно, ответ должен быть подкреплён вычислениями или логическими рассуждениями.

Материалы источника

Числовая таблица тел Солнечной системы не обнаружена среди 32 архивных файлов 2007 года. Лист bgtheo6.jpg содержит только переводы заголовков колонок. Официальные эскизы решений сохранены на предоставленном английском языке с обозначением утрат по краям снимков. Полная отдельная фотография самолёта и Луны приложена к задаче 4.

Note for jury and team leaders

The proposed sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations for students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for8pts) may be shorter.

Source photograph damage

The second and fourth official solution photographs lose some initial letters or words at the left edge. Ellipses inside the affected solution text mark those source losses. Legible formulas, results and grading remarks are retained; missing letters have not been silently supplied. The solution for question4 contains no explanatory drawing, although the question requests one.

Printed source annotations

The supplied key’s Moon magnitude calculations and approximate values are retained. The source results and formulas are reproduced without scientific correction; punctuation and multiplication spacing are normalized only for mathematical rendering.

Сопоставление листов

Снимок theo.jpg содержит рядом группы α и β и повёрнут относительно ориентации файла. Отдельный betatheo.jpg повторяет задачи 1–5 группы β; это второй снимок того же издания, а не дополнительный комплект задач. По левому краю половины α частично утрачены номера задач и начало нижней строки о таблице; утрата обозначена многоточием. Тексты условий читаются полностью.

Условие

Фотография Земли и Луны сделана с искусственного спутника Земли. Оцените звёздную величину Луны, видимую наблюдателем с этого спутника.

Решение

Let us find the distance from the satellite to the Moon.

Let $\rho$ , $R$ and $L$ are angular radii as seen from the satellite, (radii and distances to the Earth (E) and Moon (M)). From the equations

R_E=L_E\sin\rho_E\approx L_E\rho_E,

R_M=L_M\sin\rho_M\approx L_M\rho_M,

one can find

L_M/L_E=(R_M/R_E)(\rho_E/\rho_M)

L_E/L_M=(R_E/R_M)(\rho_M/\rho_E).

The close positions of the Earth and the Moon on the picture shows us that the satellite, the Earth and the Moon are approximately on one line and therefore we can approximately say

L_M=L_{EM}+L_E,

L_E=L_M-L_{EM},

where $L_{EM}$ is the distance from the Earth to the Moon.

L_M(R_E/R_M)(\rho_M/\rho_E)=L_M-L_{EM};

L_M=L_{EM}/(1-(R_E/R_M)(\rho_M/\rho_E)).

From the picture we see that for the observer on the satellite the phase of the Moon is full moon. If $m_0$ is the magnitude of the full moon for the observer on the Earth (the distance to the Moon is $L_{EM}$ ), the magnitude for the observer on the satellite is

m_1=m_0+5\lg(L_M/L_{EM})=m_0-5\lg(1-(R_E/R_M)(\rho_M/\rho_E)).

We may measure values $\rho_E$ and $\rho_M$ on the picture and take values $R_M$ , $R_E$ and $m_0$ (and, by the way, $L_{EM}$ ) from the table of the Solar System,

\rho_E/\rho_M\approx80/13\approx6.15,\quad L_{EM}=384\,400\ \mathrm{km},

R_E/R_M=D_E/D_M=12756\ \mathrm{km}/3475\ \mathrm{km}=3.67,\quad m_0=-12.7^{\mathrm m}.

m_1=-12.7^{\mathrm m}-5^{\mathrm m}\lg(1-3.67\cdot0.16)=-12.7^{\mathrm m}-5^{\mathrm m}\lg(0.41)\approx-12.7^{\mathrm m}+1.9^{\mathrm m}\approx-10.8^{\mathrm m}.

Note 1 for Jury members. Due to difference in printers the scales of the pictures were different in different copies of the pictures. Therefore the values of the lengths may be different from those written here. But the ratios, which are necessary for the solutions, of the lengths should be about the same. Nevertheless the problem is estimational. Measuring of $\rho_E/\rho_M$ and correct calculations have to result to answers from $-10.6^{\mathrm m}$ to $-11.0^{\mathrm m}$ .

Note 2 for Jury members. By the way, the short approximate solution that also should be regarded as a full solution (the so called solution in integer values):

After using the formula $L_M=L_{EM}/(1-(R_E/R_M)(\rho_M/\rho_E))$ (or an analogous formula) and calculations we may find that $L_M\approx2.5L_{EM}$ , enlarging distance every 2.5 times (more exactly 2.512) enlarges the magnitude on $2^{\mathrm m}$ , so

m_1=-12.7^{\mathrm m}+2^{\mathrm m}\approx-10.7^{\mathrm m}.

Данные

…нные из таблицы от телах Солнечной Системы могут быть использованы в любой задаче.

Оригинал в Архива: theo.jpg · официални решения: theosol1.jpg · допълнителни данни: theosol2.jpg · допълнителни данни: theosol3.jpg · допълнителни данни: theosol4.jpg · допълнителни данни: photo.JPG · допълнителни данни: betatheo.jpg