Съдържание

IAO 2008, Теория, Група β — Задача 4. Мечешки скок. Началото на XXI век.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2008

XIII Международная астрономическая олимпиада · XIII International Astronomy Olympiad · XIII Olimpiade Internazionale di Astronomia — Италия, Триест, 13 – 21. X. 2008, Trieste, Italia — Round Th, Group α. β. · 13 октомври 2008 г. · 8 т.

Бележка

Maybe not all problems have correct questions. Some questions (maybe the main question of the problem, maybe one of the subquestions) may have no real sense. In this case you have to write in your answer (in English or Russian): «situation is impossible – ситуация невозможна». Of course, this answer has to be explained numerically or logically.
Data from the table of planetary data may be used for solving every problem.

Note for jury and team leaders.

The proposed sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations for students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Элементы орбит. Физические характеристики некоторых планет, Луны и Солнца

Parameters of orbits.
Physical characteristics of some planets, Moon and Sun

Небесное тело, планета / Body, planet	Среднее расстояние от центрального тела / Average distance to central body, астр. ед. / astr. units	Среднее расстояние от центрального тела / Average distance to central body, млн. км / mln. km	Сидерический (или аналогичный) период обращения / Sidereal (or analogous) period, тропич. годах / troph. years	Сидерический (или аналогичный) период обращения / Sidereal (or analogous) period, средних сутках / days	Эксцентриситет / Eccentricity, e	Экваториальн. диаметр / Equat. diameter, km	Масса / Mass, $10^{24}$ kg	Средняя плотность / Av. density, g/cm³	Ускор. своб. пад. у пов. / Grav. acceler. at surf., m/s²	Макс. блеск, вид. с Земли / Max. magn. from Earth **)	Альбедо / Albedo
Солнце / Sun	1,6·10⁹	2,5·10¹¹	2,2·10⁸	8·10¹⁰		1392000	1989000	1,409		−26,8ᵐ
Меркурий / Mercury	0,387	57,9	0,241	87,97	0,206	4 879	0,3302	5,43	3,70		0,06
Венера / Venus	0,723	108,2	0,615	224,70	0,007	12 104	4,8690	5,24	8,87		0,78
Земля / Earth	1,000	149,6	1,000	365,26	0,017	12 756	5,9742	5,515	9,81		0,36
Луна / Moon	0,00257	0,38440	0,0748	27,3217	0,055	3 475	0,0735	3,34	1,62	−12,7ᵐ	0,07
Марс / Mars	1,524	227,9	1,880	686,98	0,093	6 794	0,6419	3,94	3,71		0,15
Юпитер / Jupiter	5,204	778,6	11,862	4 332,59	0,048	142 984	1899,8	1,33	24,86		0,66
Сатурн / Saturn	9,584	1433,7	29,458	10 759,20	0,054	120 536	568,50	0,70	10,41		0,68

**) Для Луны – в среднем противостоянии.
**) For Moon – in mean opposition.

Координаты на эпоху 2000
Epoch 2000 coordinates

	α	δ
Полярная звезда / Polar star	2ʰ 31ᵐ 48ˢ.7	89° 15′ 51″

Условие

В пътеводителите на остров Шпицберген може да се намери следната фраза: „бялата мечка скача на 8 метра без предупреждение“. Средата на XXVI век. С цел да населят Слънчевата система с фауна, биолозите планират да закарат бели мечки от Шпицберген на ледените астероиди от пояса на Куйпър. Но физиците предупреждават, че някои скокливи мечки могат да станат независими обекти от пояса на Куйпър.

Оценете на астероиди с какви размери (диаметър) могат да се настаняват бели мечки безопасно от гледна точка на физиците. Отговорът трябва да се представи във вид на формула-неравенство.

Jump of polar bear — illustration from the original English problem — Илюстрация от оригиналното английско условие.

Отговори

Решение

Официална скица на решението, на оригиналния английски език.

Initial jump speed

So, the bear makes a start and flies... On Spitsbergen (that is, on the Earth) the length of jump is equal to

L=V_{hor}\times t,\qquad t=2V_{vert}/g,

L=2V_{hor}V_{vert}/g.

V_{hor}=V_0\cos\alpha,\qquad V_{vert}=V_0\sin\alpha.

$V_0$ here is the initial speed of jump of the bear from the surface, $g$ – acceleration of gravity at the Earth. If we consider that this speed is not depend on the angle $\alpha$ (in general it is not absolutely true, but we shall use this assumption in our model), the maximum length of jump is reached when $\alpha=45^\circ$ ,

L=V_0^2/g.

So, if $L=8$ m, we may obtain, that speed with which the bear makes a start from the Earth is approximately equal to

V_0=(L\cdot g)^{1/2}\approx9\,\mathrm{m/s}.

Safe asteroid diameter

If this speed will be larger than the second cosmic speed for the asteroid, the bear will depart and surely become an independent object of the Kuiper belt. The second cosmic speed may be used for the solution. Nevertheless, the first cosmic speed is better in the situation. Even, if this speed will be less the second cosmic speed, but larger than the first cosmic speed, it would be quite uncomfortable for the bear after it has jumped of the surface: it will follow an orbit of suborbital flight during many hours.

The relationship between the first cosmic speed and the size and density of the asteroid is

V_1^2/R=GM/R^2=G(4/3)\pi R^3\rho/R^2,

V_1^2=G(4/3)\pi R^2\rho=\pi GD^2\rho/3.

The first cosmic speed for an asteroid of the Kuiper belt is equal

V_1=D(\pi G\rho/3)^{1/2}.

D=V_1/(\pi G\rho/3)^{1/2}.

Taking into account that the planned for settling by bears objects of the Kuiper belt consist basically of ice, their characteristic density is about $900\,\mathrm{kg/m^3}$ . So we have that the first cosmic speed $V_1$ is equal to $V_0=(L\cdot g)^{1/2}=9\,\mathrm{m/s}$ for the asteroids with diameter of order

D=V_0/(\pi G\rho/3)^{1/2}=(L\cdot g)^{1/2}/(\pi G\rho/3)^{1/2}=(3Lg/\pi G\rho)^{1/2}.

D\approx35\,\mathrm{km}.

Thus, from the physicists’ point of view it is possible to place polar bears comfortably on ice asteroids with diameters more than about 35 km.

Answer: $D>(3Lg/\pi G\rho)^{1/2}\approx35$ km.

Бележка върху българския ръкопис

В долната част на листа има отделна ръкописна формула-неравенство за радиуса и бележката „въртене на астероида, възд. съпр.“. Запазена е като източникова бележка, отделно от английското официално решение за диаметъра.

Handwritten radius inequality and note on asteroid rotation and air resistance

Бележка от източника

No separate detailed rubric or Bulgarian official solution is present in the full year inventory. The English source explicitly supplies sketches, with a general reference to 8 points; all applicable supplied reasoning and jury notes are retained.

Бележка от източника

The Bulgarian sheet includes an additional handwritten radius inequality and rotation/air-resistance note; this is preserved as an annotation, distinct from the official English diameter calculation. The English task includes a bear illustration absent from the Bulgarian manuscript; it is supplied with explicit attribution.

Оригинал в Архива: betatheobg4.pdf · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: betatheo.pdf · допълнителни данни: IAO2008-data.pdf