Съдържание

IAO 2008, Теория, Група β — Задача 3. Велико противостояние.

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2008

Задачи за теоретичния тур · 13 октомври 2008 г.

Обща забележка

Не е изключено да е така, че не във всички задачи въпросите да са поставени коректно. Някои въпроси (може главният въпрос, а може някой подвъпрос) може да нямат смисъл. В такъв случай трябва да се напише в решението (на руски или на английски): „Ситуация невозможна – situation is impossible“. Разбира-се, отговорът трябва да бъде подкрепен с пресмятания или логически разсъждения.

Данните от таблицата за телата от Слънчевата система могат да се използват в която и да е задача.

Note for jury and team leaders.

The proposed sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations for students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Элементы орбит. Физические характеристики некоторых планет, Луны и Солнца

Parameters of orbits.
Physical characteristics of some planets, Moon and Sun

Небесное тело, планета / Body, planet	Среднее расстояние от центрального тела / Average distance to central body, астр. ед. / astr. units	Среднее расстояние от центрального тела / Average distance to central body, млн. км / mln. km	Сидерический (или аналогичный) период обращения / Sidereal (or analogous) period, тропич. годах / troph. years	Сидерический (или аналогичный) период обращения / Sidereal (or analogous) period, средних сутках / days	Эксцентриситет / Eccentricity, e	Экваториальн. диаметр / Equat. diameter, km	Масса / Mass, $10^{24}$ kg	Средняя плотность / Av. density, g/cm³	Ускор. своб. пад. у пов. / Grav. acceler. at surf., m/s²	Макс. блеск, вид. с Земли / Max. magn. from Earth **)	Альбедо / Albedo
Солнце / Sun	1,6·10⁹	2,5·10¹¹	2,2·10⁸	8·10¹⁰		1392000	1989000	1,409		−26,8ᵐ
Меркурий / Mercury	0,387	57,9	0,241	87,97	0,206	4 879	0,3302	5,43	3,70		0,06
Венера / Venus	0,723	108,2	0,615	224,70	0,007	12 104	4,8690	5,24	8,87		0,78
Земля / Earth	1,000	149,6	1,000	365,26	0,017	12 756	5,9742	5,515	9,81		0,36
Луна / Moon	0,00257	0,38440	0,0748	27,3217	0,055	3 475	0,0735	3,34	1,62	−12,7ᵐ	0,07
Марс / Mars	1,524	227,9	1,880	686,98	0,093	6 794	0,6419	3,94	3,71		0,15
Юпитер / Jupiter	5,204	778,6	11,862	4 332,59	0,048	142 984	1899,8	1,33	24,86		0,66
Сатурн / Saturn	9,584	1433,7	29,458	10 759,20	0,054	120 536	568,50	0,70	10,41		0,68

**) Для Луны – в среднем противостоянии.
**) For Moon – in mean opposition.

Координаты на эпоху 2000
Epoch 2000 coordinates

	α	δ
Полярная звезда / Polar star	2ʰ 31ᵐ 48ˢ.7	89° 15′ 51″

Бележки за изданието

Трите български снимки съдържат задачи 1–3: задача 1 продължава на втория лист, а задачи 2 и 3 са заедно на третия. Българските задачи 4 и 5 са отделни вече налични архивни страници и не са повторени тук. Снимката на котарака е от съответното английско условие. Пълните приложими официални ескизи на решенията са запазени на английски. Неподписаните ръкописни изчисления върху българските листове са отделени като архивни бележки и не са част от официалния ключ.

Различия в източниците

В официалното решение на задача 1 първо е използвано α=0,08, но по-късно са отпечатани коефициентите 0,9 и 0,1, водещи до записания отговор около 40 милиона градуса; тези стойности са запазени. Българското условие не съдържа последното английско изречение за идеален газ и то не е добавено като български текст. Ръкописните числови бележки се различават от официалните резултати и са съхранени без поправяне.

Условие

Както знаете, за земните наблюдатели понякога има велико противостояние на Марс. Понякога дори по време на такива противостояния звездната величина на Марс е достигала $-2{,}9^{\mathrm m}$ (като например на 27 август 2003 г.). Но има и велики противостояния на Венера за наблюдателите на други планети. На кои планети (или на коя планета) е възможно това? Намерете звездната величина на Венера, видима от всяка от тези планети (или от тази планета) по време на такива противостояния.

Решение

3αβ. Great opposition. Oppositions (including Great oppositions) of a planet may be only for observers at the inner planets. There is only one inner planet –Mercury – for the Venus. So any opposition of Venus may be observed only from Mercury.

The flux to Earth from Mars

F_M\sim\alpha_{Ma}D_{Ma}^2(1/R_{E-Ma})^2(1/R_{S-Ma})^2,

(here and below $\alpha$ is albedo, $D$ are diameters of the bodies and $R$ are distances, indexes Ma, E, V, Me and S correspond to Mars, Earth, Venus, Mercury and Sun).

The flux to Mercury from Venus

F_V\sim\alpha_VD_V^2(1/R_{Me-V})^2(1/R_{S-V})^2.

The ratio of fluxes

F_V/F_M=(\alpha_V/\alpha_{Ma})(D_V^2/D_{Ma}^2)(R_{E-Ma}R_{S-Ma})^2/(R_{Me-V}R_{S-V})^2.

And what does it mean the word “Great”? The Great oppositions appear for the situation when the distance to opposition planet is smaller than during usual (mean) oppositions. For Mars observing from Earth it is situation when the Mars is in the perihelion of its orbit, as the eccentricity of Mars orbit is quite larger than the eccentricity of Earth.

For Venus observing from Mercury the situation is opposite, the eccentricity of Mercury (observer’s planet) orbit is quite larger than the eccentricity of Venus (the planet that observed). So the Great oppositions appear when the Mercury is in the aphelion of its orbit.

It means that for the comparison magnitudes (i.e. fluxes) for these two Great oppositions we have to use values $R_{S-Ma}=(1-e)A_{Ma}$ and $R_{S-Me}=(1+e)A_{Me}$ for positions of Mars and Mercury and may consider the orbits of Earth and Venus circular, $R_{S-E}=A_E$ , $R_{S-V}=A_V$ .

So the ratio of fluxes

F_V/F_M=(\alpha_V/\alpha_{Ma})(D_V^2/D_{Ma}^2)((1-e)A_{Ma}-A_E)^2((1-e)A_{Ma})^2/((A_V-(1+e)A_{Me})A_V)^2.

Taking the necessary values from the data of Solar system we may calculate

F_V/F_M=(0.78/0.15)(12104/6794)^2(0.382\cdot1.382)^2/(0.256\cdot0.723)^2.

F_V/F_M\approx134.

So Venus visible from Mercury on Great opposition is brighter than Mars visible from Earth on Great opposition, and the difference in stellar magnitudes is equal

\Delta m=-2^m.5\lg(F_V/F_M)\approx-5^m.3.

Stellar magnitude of Venus

m=-2^m.9+\Delta m\approx-8^m.2.

Of course, it is not the only possible correct way for solution.

Неподписана архивна бележка

Unsigned handwritten magnitude estimate and pen marks on the original Bulgarian sheet.

Оригинал в Архива: betatheobg1.jpg · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: betatheobg2.jpg · допълнителни данни: betatheobg3.jpg · допълнителни данни: betatheo.pdf · допълнителни данни: IAO2008-data.pdf