Съдържание

IAO 2008, Теория, Група β — Задача 1. Температура на ядрото на звезда

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2008

Задачи за теоретичния тур · 13 октомври 2008 г.

Обща забележка

Не е изключено да е така, че не във всички задачи въпросите да са поставени коректно. Някои въпроси (може главният въпрос, а може някой подвъпрос) може да нямат смисъл. В такъв случай трябва да се напише в решението (на руски или на английски): „Ситуация невозможна – situation is impossible“. Разбира-се, отговорът трябва да бъде подкрепен с пресмятания или логически разсъждения.

Данните от таблицата за телата от Слънчевата система могат да се използват в която и да е задача.

Note for jury and team leaders.

The proposed sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations for students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Элементы орбит. Физические характеристики некоторых планет, Луны и Солнца

Parameters of orbits.
Physical characteristics of some planets, Moon and Sun

Небесное тело, планета / Body, planet	Среднее расстояние от центрального тела / Average distance to central body, астр. ед. / astr. units	Среднее расстояние от центрального тела / Average distance to central body, млн. км / mln. km	Сидерический (или аналогичный) период обращения / Sidereal (or analogous) period, тропич. годах / troph. years	Сидерический (или аналогичный) период обращения / Sidereal (or analogous) period, средних сутках / days	Эксцентриситет / Eccentricity, e	Экваториальн. диаметр / Equat. diameter, km	Масса / Mass, $10^{24}$ kg	Средняя плотность / Av. density, g/cm³	Ускор. своб. пад. у пов. / Grav. acceler. at surf., m/s²	Макс. блеск, вид. с Земли / Max. magn. from Earth **)	Альбедо / Albedo
Солнце / Sun	1,6·10⁹	2,5·10¹¹	2,2·10⁸	8·10¹⁰		1392000	1989000	1,409		−26,8ᵐ
Меркурий / Mercury	0,387	57,9	0,241	87,97	0,206	4 879	0,3302	5,43	3,70		0,06
Венера / Venus	0,723	108,2	0,615	224,70	0,007	12 104	4,8690	5,24	8,87		0,78
Земля / Earth	1,000	149,6	1,000	365,26	0,017	12 756	5,9742	5,515	9,81		0,36
Луна / Moon	0,00257	0,38440	0,0748	27,3217	0,055	3 475	0,0735	3,34	1,62	−12,7ᵐ	0,07
Марс / Mars	1,524	227,9	1,880	686,98	0,093	6 794	0,6419	3,94	3,71		0,15
Юпитер / Jupiter	5,204	778,6	11,862	4 332,59	0,048	142 984	1899,8	1,33	24,86		0,66
Сатурн / Saturn	9,584	1433,7	29,458	10 759,20	0,054	120 536	568,50	0,70	10,41		0,68

**) Для Луны – в среднем противостоянии.
**) For Moon – in mean opposition.

Координаты на эпоху 2000
Epoch 2000 coordinates

	α	δ
Полярная звезда / Polar star	2ʰ 31ᵐ 48ˢ.7	89° 15′ 51″

Бележки за изданието

Трите български снимки съдържат задачи 1–3: задача 1 продължава на втория лист, а задачи 2 и 3 са заедно на третия. Българските задачи 4 и 5 са отделни вече налични архивни страници и не са повторени тук. Снимката на котарака е от съответното английско условие. Пълните приложими официални ескизи на решенията са запазени на английски. Неподписаните ръкописни изчисления върху българските листове са отделени като архивни бележки и не са част от официалния ключ.

Различия в източниците

В официалното решение на задача 1 първо е използвано α=0,08, но по-късно са отпечатани коефициентите 0,9 и 0,1, водещи до записания отговор около 40 милиона градуса; тези стойности са запазени. Българското условие не съдържа последното английско изречение за идеален газ и то не е добавено като български текст. Ръкописните числови бележки се различават от официалните резултати и са съхранени без поправяне.

Условие

Може да се смята, че слънчевото ядро се състои от смес от напълно йонизирани водород и хелий. Делът на атомите на хелия е равен на $\alpha=0{,}08$ (т.е. съотношението на водорода и хелия е 92% към 8% по брой атоми). Температурата в центъра на ядрото на Слънцето е 15 милиона градуса, а плътността $150\ \mathrm{g/cm^3}$ . Да предположим, че съществува въглеродна звезда (100% напълно йонизиран въглерод) със същите параметри (същата плътност и налягане в центъра, същата маса). Намерете температурата в центъра на ядрото на такава въглеродна звезда. Атомния номера и атомните маси на водорода, хелия и въглерода са съответно:

Z_H=1,\quad A_H=1,\quad Z_{He}=2,\quad A_{He}=4,\quad Z_C=6,\quad A_C=12.

Решение

1β. Temperature of star’s core. Gas in the cores of stars consists of ions (completely ionized atoms) and electrons. The number of protons of each atom number is equal to number of electrons. As all atoms in the cores are ionized, the number of free electrons corresponds to the number of protons in its nucleus, that is Z. If $n_H$ , $n_{He}$ and $n_C$ are concentrations of ions of hydrogen, helium and carbon, the concentrations of corresponding electrons are equal to $Z_H\cdot n_H$ , $Z_{He}\cdot n_{He}$ and $Z_C\cdot n_C$ .

The total pressure of the gas in stars is equal to the sum of pressure of the gas of ions $p_i$ and the pressure of gas of electrons $p_e$ ,

p=p_i+p_e.

According to formulae for ideal gas

p_i=n_i kT\qquad\text{and}\qquad p_e=n_e kT,

where $n_i$ and $n_e$ are concentrations of ions and electrons respectively. The total pressure is equal to

p=(n_i+n_e)kT.

Then we write equations for the total pressures in the stars.

For the Sun:

p_S=(n_H+Z_Hn_H+n_{He}+Z_{He}n_{He})kT_S=(2n_H+3n_{He})kT_S=(2(1-\alpha)n_S+3\alpha n_S)kT_S=(2+\alpha)n_SkT_S.

For $\alpha=0.08$ :

p_S=2.08n_SkT_S.

For the carbon star:

p_C=(n_C+Z_Cn_C)kT_C=7n_CkT_C.

Since these pressures are equal to each other (condition of the problem)

p_S=p_C,

we may write

7n_CkT_C=2.08n_SkT_S,

T_C=0.297(n_S/n_C)T_S.

Further we shall find a relation between the concentrations of ions in the solar core and the core of the carbon star, $n_S$ and $n_C$ . Practically all mass of matter is in the nuclei of atoms, therefore the densities in the cores of each star are equal to the concentration of ions multiplied by the masses of ions which are proportional to the nuclear masses of the elements. As the density of substance in the solar core and the core of the carbon star are identical,

A_Hn_H+A_{He}n_{He}=A_Cn_C,

A_H(1-\alpha)n_S+A_{He}\alpha n_S=A_Cn_C,

(1\cdot0.9+4\cdot0.1)n_S=12n_C,\qquad1.3n_S=12n_C,\qquad n_S=9.23n_C.

Thus,

T_C=0.297\cdot9.23T_S=2.74T_S.

T_C=2.74\cdot1.5\cdot10^7\,\mathrm K\approx4.1\cdot10^7\,\mathrm K.

(Since we talk about millions of degrees, especially, about an estimations, it is without importance whether the temperature given is in degrees Celsius or Kelvin.)

Answer: the temperature in the core of the carbon star is about 40 million degrees.

Неподписана архивна бележка

Unsigned handwritten core-temperature estimate from the Bulgarian continuation sheet; preserved without scientific correction.

Оригинал в Архива: betatheobg1.jpg · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: betatheobg2.jpg · допълнителни данни: betatheobg3.jpg · допълнителни данни: betatheo.pdf · допълнителни данни: IAO2008-data.pdf