Съдържание

IAO 2011, Практически тур — αβ-7. Екзопланета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2011

XVI Международная астрономическая олимпиада / XVI International Astronomy Olympiad, Казахстан, Алма-Ата, 22 – 30. IX. 2011, Round Prac · 22 септември 2011 г.

Възстановени източници

Българските ръкописни условия са запазени. Липсващите изображения и графики са възстановени от съответните английски оригинали. Официалните решения са на руски език и са представени на този език. Подзадачите запазват отпечатаните групи α, β и αβ; всички съществуващи адреси на задачите са запазени.

Условие

Наскоро астрономите откриха екзопланета, която не отразява практически никаква светлина и принадлежи към класа на горещите Юпитери. Нейната маса е около 12 Юпитерови маси, средният ѝ орбитален радиус - 0,036 AU, а периодът ѝ - 2,47 дни. Данните за тази планета са били получени с помощта на телескопа "Кеплер", който постоянно следи небесния регион между съзвездията Лира и Лебед. Телескопът е изстрелян през март 2009 и е подходящ за наблюдение не само на гиганти, но и на планети с размер на Земята. Наскоро, астрономите откриха, че екзопланетите могат да причинят големи приливни вълни върху звездите, които оказват значително влияние върху спектъра на излъчваната светлина. По този начин, с помощта на този ефект, учените доказват, че планетата обикаля по кръгова орбита около звездата си.

На графиката (виж на отделния лист) е дадена зависимостта на яркостта на системата като функция на фазата (фазата $\varphi$ е изразена в радиани). Тази яркост е нормирана на яркостта на звездата.

Graph of E1/E0 (vertical axis, 0.985 to 1.015) versus orbital phase φ (horizontal axis, −0.6 to 0.6, gridlines every 0.1): open circles, grey dots and black points with error bars, and a smooth grey curve near 1 with a dip to about 0.995 around phase 0.0.

7.1 По време на транзита има четири "контакта" - моменти в които контура на по-малкото тяло се докосва в една точка до контура на по-голямото (подобно на контактите при затъмнение). Контактите се редуват в следния ред:

първи контакт: малкото тяло е напълно извън голямото и се движи навътре.
втори контакт: малкото тяло е напълно в голямото и продължава да се движи навътре.
трети контакт - малкото тяло е напълно в голямото и се движи навън
четвърти контакт - малкото тяло е напълно извън голямото и започва да се отдалечава.

На дадената Ви диаграма означете моментите на първи, втори, трети и четвърти контакт. Запишете във Вашите тетрадки стойностите на фазата за всеки контакт.

7.2 Определете продължителността на затъмнението (продължителността на преминаването на диска на планетата пред диска на звездата).

7.3. Определете наклона на орбитата (за екзопланети и двойни звезди равнината, спрямо която се отчита този наклон е перпендикулярна на зрителния лъч).

7.4. Пресметнете радиуса на звездата.

7.5. Пресметнете радиуса на планетата.

Отговори

Решение

Official solution source: the shared Russian document alphabeta7sol.doc. The question and observed light curve are already reproduced above; the supplied solution below retains its original language.

1) Контакты — 10%

(10%)

Первый контакт: $-0{,}3$
Второй контакт: $-0{,}05$
Третий контакт: $0{,}05$
Четвёртый контакт: $0{,}3$

2) Длительность прохождения — 20%

(20%) время (длительность) прохождения планеты

период $T=2{,}47$ суток, разность фаз между первым и последним контактами $\varphi_{14}=0{,}6$ рад.,

полный период соответствует $6{,}28$ рад., отсюда время прохождения

t=T\frac{\varphi_{14}}{2\pi}=0{,}236\text{ сут }(5{,}66\text{ ч.}).

3–5) Наклонение орбиты и радиусы

определение наклонения орбиты (20%)
определение радиуса звезды (15%)
определение радиуса планеты (15%)

Обозначим $R_0$ — радиус звезды, $R_1$ — радиус экзопланеты.

Из графика можем найти соотношение радиусов планеты и звезды: при прохождении поток излучения на минимуме соответствует покрытию планетой звезды, отсюда соотношение потоков будет соответствовать соотношению площадей поверхностей:

S_0/S_1=E_0/E_1,\quad E_0=1,\quad E_1=7\cdot10^{-3},

(R_0/R_1)^2=E_0/E_1=1/7\cdot10^{-3},\quad\text{отсюда }R_0=12R_1.

Transcription note: the unparenthesized quotient $1/7\cdot10^{-3}$ is printed in the key; its stated radius ratio corresponds to $1/(7\cdot10^{-3})$ . The source expression and result are retained.

Transit geometry: stellar circle, four planet contact positions 1–4, centre 0, angles alpha and beta, radii R0+R1 and R0−R1, and path lengths L12 and L23. — Рисунок 1. Геометрия контактов.

Рассмотрим рисунок 1.

На рисунке цифрами обозначены точки, соответствующие контактам, $L_{12}$ и $L_{23}$ — расстояния между соответствующими контактами:

L_{12}=2\pi R\frac{\varphi_{12}}{2\pi}=0.25R=0{,}009\text{ а.е.}

L_{23}=2\pi R\frac{\varphi_{23}}{2\pi}=0.1R=0.0036\text{ а.е.}

Для треугольников 012, 023 и 013 можем написать

L_{12}^2=(R_0+R_1)^2+(R_0-R_1)^2-2(R_0+R_1)(R_0-R_1)\cos\alpha,

L_{23}^2=2(R_0-R_1)^2(1-\cos\beta),

(L_{12}+L_{23})^2=(R_0+R_1)^2+(R_0-R_1)^2-2(R_0+R_1)(R_0-R_1)\cos(\alpha+\beta).

Используя соотношения для радиусов, получим систему

L_{12}^2=R_1^2(290-286\cos\alpha),\qquad L_{23}^2=242R_1^2(1-\cos\beta),

(L_{12}+L_{23})^2=R_1^2(290-286\cos(\alpha+\beta)),

отсюда $R_1=1{,}54\cdot10^{-3}$ а.е., $R_0=18{,}48\cdot10^{-3}$ а.е.

Теперь, если найдем высоту равнобедренного треугольника

H=\sqrt{(R_0-R_1)^2-L_{23}^2/4}=\sqrt{0{,}0002869636-0{,}00000324}=0.0168\text{ а.е.},

можем вычислить наклонение

\sin(90^\circ-i)=H/R=0.0168/0.036=0.466,\qquad i=62.18^\circ.

Source grading note

The source lists 10%, 20%, 20%, 15%, and 15% for the five items. These total 80%; no allocation for the remaining 20% is supplied. The printed percentages are preserved without normalization.

Оригинал в Архива: bgpract.pdf · официални решения: alpha6sol.doc · допълнителни данни: beta6sol.doc · допълнителни данни: alphabeta7sol.doc · допълнителни данни: alphapract.pdf · допълнителни данни: betapract.pdf · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png