Съдържание

IAO 2011, Теория, Групи α и β — αβ-3. Изгрев на Марс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2011

XVI Международная астрономическая олимпиада / XVI International Astronomy Olympiad — Казахстан, Алма-Ата, 22 – 30. IX. 2011 — Round: Theo · 22 септември 2011 г.

Обща информация

Възможно е не всички въпроси да имат верен отговор. Някои въпроси (може би главният въпрос или някой от подвъпросите) могат да нямат смисъл. В този случай, Вие трябва да напишете във Вашия отговор (на английски или руски език) "impossible situation-ситуация невозможна". Разбира се, отговорът трябва да бъде обяснен числено или логически. Данните от таблиците (данни за планети, звезди, константи и т.н.) могат да бъдат използвани за решаването на всяка задача. Отговорите "Да-Yes" или "Нет-No" трябва да бъдат написани на английски или руски език.

Source ownership and groups

The Bulgarian manuscript contains distinct α-1 and β-1 tasks, distinct α/β Planetarium versions, then shared αβ-3–5. Existing IDs p1–p5 are retained; the unrelated β-1 is now p6. The English original supplies the Jupiter photograph and complete reference tables absent from the Bulgarian manuscript. Bulgarian date 18 October 2009 is retained; English question and key say 19 October 2009.

Clipped official sketches

The five-page official key is a preliminary jury sketch. Its page tops are clipped on pages 2–5 in the actual PDF, also visible in fresh PyMuPDF rendering. Missing opening/continuation passages are explicitly marked, not reconstructed. The ray-diagram lower label is partly cut off.

Missing drawings and grading

No detailed grading sheet occurs in the year inventory. The introduction refers to correct student solutions worth 8 points. The requested Mars Bear drawing and promised Jupiter-moon sector/point drawings are absent from the supplied key.

Printed discrepancies

Retained: latitude intermediate −88°28′ versus final −88°23′; solar mass 1.989 × 10⁻³⁰ kg versus reference table 1989000 × 10²⁴ kg; Planetarium inequality R ≪ F; Mars sketch says sunset and discusses eccentricity although the question allows a circular orbit. Jupiter sketch uses “difference in declinations”, reports 1.5% accuracy and gives centre-distance rather than the requested surface distance. These are source statements, not newly calculated answers.

Условие

Полярната мечка (която Вие сте срещали в условията на задачите на много международни астрономически олимпиади) се е уморила да прави астрономически наблюдения от Земята. Тя се отправя към Северния полюс на Марс и решава да наблюдава изгрев на Слънцето от там. Пресметнете колко продължава този изгрев на Слънцето.

Решението Ви трябва да съдържа рисунка на мечката на Северния полюс на Марс. Необходимите линейни и ъглови размери трябва да бъдат означени на нея. Считайте, че Марс е сферичен, а орбитата му кръгова. Припомнете си необходимата информация за полярната мечка

Отговори

Решение

Внимание: Непълно решение

The supplied numerical sketch gives 37.6 hours but does not include the drawing of the Bear requested in the question.

Theoretical round. Sketches for solutions. For preliminary work of Jury ONLY.

Note for jury and team leaders. The proposed sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations for students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Sunrise duration

For an observer on the North Pole of Mars the sunrise happens once a year, in time close to the day of the martian vernal equinox. The solution of the problem is analogous to the solution about the sunrise on the Earth's poles, but we have to remember that some parameters are different on Mars and on Earth:

$\alpha$ — the visible angular size of Sun.
$v$ — the speed of the Sun along the planet's ecliptic.
$\varepsilon$ — the inclination of the planet's equator plane to the plane of the planet's ecliptic.
$R$ — radius of the planet.

For the observer on the North Pole of Mars the angle between the ecliptic and the horizon is equal to $\varepsilon=25.2^\circ$ . During the sunrise the Sun goes up to the angle equal to its apparent angular diameter, that is

\alpha=D/L,

where $D$ is the diameter of the Sun, $L$ is the distance from Mars to the Sun. During this time the Sun moves an angular distance $\varphi=\alpha/\sin\varepsilon$ on the ecliptic. Thus, the duration of the sunset equals to $\tau=\varphi/v=\alpha/(v\sin\varepsilon)$ , where $v$ is the speed of the Sun along the martial ecliptic.

Due to the large eccentricity of orbit of Mars both the distance $L$ and speed $v$ may vary significantly ( $\pm e=9.3\%$ of mean value). Nevertheless we do not know a priory, and cannot understand from the tables, in which point of orbit Mars is situated at the moments of its vernal equinox. So we shall use mean values, equal to $L=228$ million km and $v=360^\circ/687^{\mathrm d}\approx0.524^\circ$ per day. Thus,

\tau=\frac{(1.392/228)\,\mathrm{rad}\times(180/\pi)\,{}^\circ/\mathrm{rad}}{(360^\circ/687^{\mathrm d})\sin25.2^\circ}\approx1.57\text{ days or }37.6\text{ hours}.

Source note: “sunset” and the discussion of eccentricity are printed in this sunrise sketch; the question explicitly permits a circular orbit. The requested drawing of the Bear on Mars is not supplied in the available sketch.

Parameters of orbits. Physical characteristics of Sun, some planets, Moon and Galilean moons of Jupiter

Элементы орбит. Физические характеристики Солнца, некоторых планет, Луны и Галилеевых спутников Юпитера

Parameters of orbits. Physical characteristics of Sun, some planets, Moon and Galilean moons of Jupiter

Небесное тело, планета / Body, planet	Среднее расстояние от центрального тела, в астр. ед. / Average distance to central body, in astr. units	Среднее расстояние от центрального тела, в млн. км / Average distance to central body, in mln. km	Сидерический (или аналогичный) период обращения, в тропич. годах / Sidereal (or analogous) period, in troph. years	Сидерический (или аналогичный) период обращения, в средних сутках / Sidereal (or analogous) period, in days	Эксцентриситет, e / Eccentricity, e	Экваториальн. диаметр, км / Equat. diameter, km	Масса, $10^{24}$ кг / Mass, $10^{24}$ kg	Средняя плотность, г/см³ / Av. density, g/cm³	Ускор. своб. пад. у пов., м/с² / Grav. acceler. at surf., m/s²	Наклон оси / Axial tilt	Альбедо / Albedo
Солнце Sun	$1{,}6\cdot 10^{9}$	$2{,}5\cdot 10^{11}$	$2{,}2\cdot 10^{8}$	$8\cdot 10^{10}$		1392000	1989000	1,409
Меркурий Mercury	0,387	57,9	0,241	87,97	0,206	4 879	0,3302	5,43	3,70	0,01°	0,06
Венера Venus	0,723	108,2	0,615	224,70	0,007	12 104	4,8690	5,24	8,87	177,36	0,78
Земля Earth	1,000	149,6	1,000	365,26	0,017	12 756	5,9742	5,515	9,81	23,44	0,36
Луна Moon	0,00257	0,38440	0,0748	27,3217	0,055	3 475	0,0735	3,34	1,62	6,7	0,07
Марс Mars	1,524	227,9	1,880	686,98	0,093	6 794	0,6419	3,94	3,71	25,19	0,15
Юпитер Jupiter	5,204	778,6	11,862	4 332,59	0,048	142 984	1899,8	1,33	24,86	3,13	0,66
Сатурн Saturn	9,584	1433,7	29,458	10 759,20	0,054	120 536	568,50	0,70	10,41	26,73	0,68

Спутник / Moon	Среднее расстояние от центра планеты, в астр. ед. / Average distance to planet center, in astr. units	Среднее расстояние от центра планеты, в тыс. км / Average distance to planet center, in thous. km	Сидерич. период обращения в средних сутках / Sidereal period in days	Наклонение орбиты (°) / Orbit inclination (°)	Эксцентриситет, e / Eccentricity, e	Диаметр, км / Diameter, km	Масса, $10^{21}$ кг / Mass, $10^{21}$ kg	Средняя плотность, г/см³ / Av. density, g/cm³	Ускор. своб. пад. у пов., м/с² / Grav. acceler. at surf., m/s²	Макс. блеск, вид. с Земли ) / Max. magn. From Earth )	Геом Альбедо / Geom Albedo
Ио Io	0,00282	421,70	1,769137	0,050°	0,0041	3 643	89,31	3,53	1,80	$5{,}02^{m}$	0,63
Европа Europa	0,00449	671,03	3,551181	0,471°	0,0094	3 122	48,00	3,01	1,32	$5{,}29^{m}$	0,67
Ганимед Ganymede	0,00716	1070,41	7,154553	0,204°	0,0011	5 262	148,19	1,94	1,43	$4{,}61^{m}$	0,43
Каллисто Callisto	0,01259	1882,71	16,689018	0,205°	0,0074	4 821	107,59	1,83	1,23	$5{,}65^{m}$	0,20

*) В среднем противостоянии. *) In mean opposition.

Some constants and formulae

Некоторые константы и формулы

Some constants and formulae

Константа	Значение / Value	Constant
Скорость света в вакууме, c (м/с)	299 792 458	Speed of light in vacuum, c (m/s)
Гравитационная постоянная, G (Н·м²/кг²)	$6.674\cdot 10^{-11}$	Constant of gravitation, G (N·m²/kg²)
Солнечная постоянная, A (Вт/м²)	1367	Solar constant, A (W/m²)
Параметр Хаббла, H₀ (км/с/МПк), среднее значение	71	mean value, Hubble parameter, H₀ (km/s/Mpc)
Параметр Хаббла, H₀ (км/с/МПк), диапазон значений	50-100	diapason of values, Hubble parameter, H₀ (km/s/Mpc)
Постоянная Планка, h (Дж·с)	$6.626\cdot 10^{-34}$	Plank constant, h (J·s)
Заряд электрона, e (Кл)	$1.602\cdot 10^{-19}$	Charge of electron, e (C)
Масса электрона, mₑ (кг)	$9.109\cdot 10^{-31}$	Mass of electron, mₑ (kg)
Соотношение масс протона и электрона	1836.15	Proton-to-electron ratio
Постоянная Фарадея, F (Кл/моль)	96 485	Faraday constant, F (C/mol)
Магнитная постоянная, μ₀ (Гн/м)	$1.257\cdot 10^{-6}$	Magnetic constant, μ₀ (H/m)
Универсальная газовая постоянная, R (Дж/моль/K)	8.314	Universal gas constant, R (J/mol/K)
Постоянная Больцмана, k (Дж/K)	$1.381\cdot 10^{-23}$	Boltzmann constant, k (J/K)
Стандартная атмосфера (Па)	101 325	Standard atmosphere (Pa)
Постоянная Стефана-Больцмана, σ (Вт/м²/K⁴)	$5.670\cdot 10^{-8}$	Stefan-Boltzmann constant, σ (W/m²/K⁴)
Константа смещения Вина, b (м·K)	0.002897	Wien’s displacement constant, b (m·K)
Лабораторная длина волны Hα (Å)	6562.81	Laboratory wavelength of Hα (Å)
Длина тропического года, T (сут)	365.242199	Tropical year length, T (days)
Показатель преломления воды при 20°C, n	1.334	Refractive index of water for 20°C, n
Момент инерции шара	$I = {}^{2}/_{5}\, MR^{2}$	Moment of inertia of a solid ball
Площадь сферы	$S = 4\pi R^{2}$	Area of sphere
π	3.14159265	π
e	2.71828183	e
Золотое сечение, φ	1.61803399	Golden ratio, φ

Оригинал в Архива: bgtheo.pdf · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: alphatheo.pdf · допълнителни данни: betatheo.pdf · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png