Съдържание

IAO 2016, Практически тур — β-6. Откриване на гравитационни вълни

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2016

XXI Международная астрономическая олимпиада · XXI International Astronomy Olympiad · Болгария, Пампорово-Смолян 5 – 13. X. 2016 · Round: Prac · 5 октомври 2016 г. · 12 т.

Source recovery / Източници

The original Russian/Bulgarian questions are retained as a distinct language edition. Missing figures and data are supplied from the matching English originals. Official solutions remain in their original English; no Russian or Bulgarian official key occurs in the complete year inventory. Part points come from the official keys.

Условие

През 1916 г., една година след окончателната формулировка на Общата теория на относителността, Алберт Айнщайн предсказва съществуването на гравитационни вълни. По аналогия с електромагнитните вълни, които се излъчват поради ускорението на електрически заряди, гравитационните вълни се излъчват в резултат на ускорението на маси. По аналогия с електромагнетизма ако неподвижно тяло внезапно започне да се движи, гравитационната сила, с която то действа на пробни маси, се изменя. При това, такова изменение не става моментално. Информацията за това, че даденото тяло се движи, се разпространява със скоростта на светлината във вид на гравитационни вълни. Когато тази гравитационна вълна достигне пробните маси, те започват да се ускоряват поради изменението на гравитационните сили. Тяло, чиито движения са периодични, ще създава периодични гравитационни вълни и те могат да ускоряват намиращите се наоколо маси също периодично.

На 14 септември 2015 г. двата детектора на лазерния интерферометър на гравитационновълновата обсерватория (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) LIGO регистрираха събитие на съвпадение на гравитационния сигнал GW150914, както е показано на Фиг. 1. Това беше първото пряко регистриране на гравитационни вълни и първото пряко наблюдение на система от две черни дупки, които се сливат в една. Определено беше, че разстоянието до двойната система сливащи се черни дупки е в интервала между 250 Mpc и 600 Mpc, а началните маси на черните дупки до тяхното сливане са били $36 \pm 4\ M_{\odot}$ и $28 \pm 4\ M_{\odot}$ . След сливането си те са образували една черна дупка с с маса $62 \pm 4\ M_{\odot}$ . Останалата маса е била превърната в енергия на гравитационните вълни, равна според изчисленията, на $3{,}0 \pm 0{,}5\ M_{\odot} c^2$ , ( $M_{\odot} = 2{,}0 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$ е масата на Слънцето, $c = 3{,}0 \times 108\ \mathrm{m/c}$ е скоростта на светлината във вакуум). Според изчисленията върховата мощност на гравитационното излъчване е била няколко пъти по-голяма от $10^{49}\ \mathrm{W}$ , което повече от десет пъти превишава сумарната мощност на светлинното излъчване на всички звезди в наблюдаемата Вселена.

Поради приливните сили гравитационните вълни предизвикват относителни отмествания ( $\Delta L$ ) на пробните маси, които са пропорционални на разстоянието ( $L$ ) между тези пробни маси. Физиците определят амплитудата на гравитационните вълни чрез безразмерната величина $h$ , която се дефинира като:

h = \Delta L / L

и обикновено се нарича безразмерна деформация на гравитационните вълни. Тази величина е нанесена на графиката по вертикалната ос.

Рис.1 из английской версии: сигнал GW150914, кривые Livingston и Hanford, три стадии слияния

Фиг. 1. Гравитационновълновото събитие GW150914, регистрирано от двата детектора на LIGO. По вертикалната ос е нанесена амплитудата на гравитационната вълна (деформацията $h$ ). Черните дупки преминават през следните етапи на сливане (техните изображения са дадени по хоризонталната ос, примерно отговарящи на съответните моменти време):

(1) по спирала, при което двете черни дупки се приближават постепенно една към друга

(2) сливане, когато черните дупки се сливат

(3) краен стадий, когато новообразуваната черна дупка отначало леко осцилира, преди да се успокои.

В рамките на класическата Нютонова механика изпълнете следните задачи:

6.1. Като използвате дадените маси на черните дупки по данните на LIGO, дадени по-горе, пресметнете радиусите на техните хоризонти преди сливането. Оценете грешката на пресмятане на тези радиуси. [1 т.]

6.2. По данните от Фиг. 1, измервайки получения сигнал от гравитационната вълна, намерете орбиталния период на системата от двете черни дупки в момента на сливането. [2,5 т.]

6.3. Като използвате само информацията, която може да се получи от Фиг. 1, оценете пълната начална маса на системата от двете черни дупки. Не бива да използвате нито един от дадените по-горе резултати на LIGO. [2 т.]

6.4. Изведете формула за енергията, отделена във вид на гравитационни вълни до момента на сливане във вид на функционална зависимост само от началните маси на двете черни дупки ( $M_1$ и $M_2$ ). Като използвате резултата, получен в 6.3., пресметнете пълната енергия, излъчена във вид на гравитационни вълни, като считате, че $M_1 = M_2$ . [1,5 т.]

6.5. Намерете средната мощност $P$ на излъчване на гравитационни вълни през последния интервал от $0{,}10\ \mathrm{s}$ до сливането. [2 т.]

6.6. Както и в повечето случаи потокът на енергията на гравитационната вълна е пропорционален на квадрата на амплитудата на вълната. Амплитудата (деформацията) в непосредствена близост до двете сливащи се черни дупки е примерно $h = (v/c)^2$ , където $V$ е е орбиталната скорост на въртене на черните дупки. Оценете разстоянието от нас до сливащите се черни дупки, открити от LIGO. [2 т.]

6.7. Експериментът LISA има за цел измерване на гравитационни вълни от сблъскващи се свръхмасивни черни дупки с голямо космологично червено отместване. Оценете каква трябва да е чувствителността на LISA в единиците на безразмерната деформация. [1 т.]

Отговори

Решение

Official solution in English.

The gravitational constant is $\gamma$ or $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ .

6.1

The initial masses of the two black holes are $36+/-4M_{\odot}$ and $28+/-4M_{\odot}$ . Their Schwarzschild radii are calculated using $R_s = 2GM/c^2$ , which gives 107+/-12 km and 83+/-12 km. The errors are calculated using ( $\Delta R_s/R_s = \Delta M/M$ ).

6.2

A good estimate of the precision of the measurements can be gained by comparing the Hanford and Livingston signals. At the time of the merger, we see two strong maxima and a minimum of the signal. For them, the time-axis intercepts for the Livingston signal are approximately at:

[0.4190, 0.4215, 0.4234, 0.4259] s

while for the Hanford signal, they are at:

[0.4193, 0.4217, 0.4239, 0.4259] s

These correspond to half-periods of:

[0.0025, 0.0019, 0.0025] sec
[0.0024, 0.0022, 0.0020] sec

for the two signals, respectively.

Assuming those measurements are both independent and representative for the time of the merger, taking the average and standard deviation of those, we get the half-period of the signal to be:

0.0023\pm0.0003\mathrm{s}

An attempt at a more accurate determination can be made by building a P(t) diagram.

The signal has close to symmetric minima and maxima, and the trends of both the maxima and the minima are consistent across both the odd and even peaks. This symmetry implies that the signal is emitted from a binary system with two components of roughly equal masses, as confirmed by the LIGO results.

Therefore, from the symmetry of the configuration of the system, the signal must be identical irrespective of which of the initial black holes is closer to us while they orbit each other. Thus, the signal must have a period of exactly half of the orbital period of the black holes. Therefore, the orbital period at the time of the merger must be 4 times larger than the half-period of the signal quoted above.

Thus, we can conclude that the orbital period is:

T = 0.0092 \pm 0.0012\ \mathrm{s}

6.3

Assuming circular orbits and Newtonian mechanics, we can apply Kepler's third law:

a^3/T^2 = G(M_1+M_2)/(4\pi^2)

where the semi-major axis at the moment of the merger is simply:

a = R_{s1}+R_{s2} = 2G(M1+M2)/c^2

We can combine the two equations above to solve for the total mass:

M_1+ M_2 = Tc^3/(2^{5/2}\pi G)

Using the value for the period we obtained in II.b, we find:

M_1+M_2=105\pm13M_{\odot}

6.4

In Newtonian mechanics, the gravitational potential energy of the system is

E_P = -GM_1M_2/a.

For a circular orbit the kinetic energy is $E_K = |E_P|/2$ , and so the mechanical energy is given by

E = -GM_1M_2/(2a),

which at large separations tends to zero. Assuming, the orbits are close to circular, and using a semi-major axis of $a=R_{s1}+R_{s2}$ at the time of the merger, we obtain that the change in mechanical energy of the binary system until the moment of the merger is given by:

\Delta E = (M_1M_2/(M_1+M_2))(c^2/4)

which should equal the total energy emitted in gravitational waves. Plugging in the numerical results obtained so far, and the assumption M1=M2, we find:

\Delta E = 6.6 \pm 0.8M_{\odot}c^2.

6.5

We will find the period around $t\sim0.32\mathrm{s}$ . The two maxima are around that time are at:

$0.316\pm0.005\mathrm{s}$ and $0.344\pm0.005\mathrm{s}$

The period of the signal is then $0.028\pm0.005\mathrm{s}$ (errors added in quadrature). This implies an orbital period which is twice larger (see II.b):

$T_i=0.056\pm0.010\mathrm{s}$ at 0.10 s before the outburst

Combining the expression for the mechanical energy:

E = -GM_1M_2/(2a)

with Kepler's third law:

a^3/T^2=G(M_1+M_2)/(4\pi^2),

we can find the mechanical energy in the initial moment. We obtain:

E_i = 2.0\pm0.5M_{\odot}c^2

Our previous estimate of E was made in 6.4.:

$E = 6.6\pm0.8M_{\odot}c^2$ at $t = 0.4226\pm0.0002\mathrm{s}$

Thus, the change of mechanical energy of the system is:

\Delta E_{0.1} = E_i - E = 4.6\pm0.9M_{\odot}c^2

over a time interval of 0.1s

This corresponds to average power of emission for the chosen time interval, which equals:

P = \Delta E_{0.1}/\Delta t = 8 \pm 2 \times 10^{48}\ \mathrm{W}

Source discrepancies retained: the claimed quadrature error 0.005 s does not follow from two independent 0.005 s errors; positive printed $E_i$ and $E$ do not yield the positive stated $E_i-E$ . The given numerical energy loss and power are retained without silently repairing those lines.

6.6

We are told that the flux (F) is proportional to $h^2$ . We also know that for any wave, F is inversely proportional to the square of the distance (d). Then h and d must be inversely related ( $F \sim h^2$ , $F \sim 1/d^2 \rightarrow h \sim 1/d$ ). Thus, we can set up the following ratio:

h_1/h_2=d_2/d_1

for any two points outside the black holes.

Right next to the two black holes (at a distance $R_s \sim R_{s1}+ R_{s2}$ ) from the center of masses), the strain is $h_0 = v^2/c^2$ . We can estimate the distance d via

h/h_0 = R_s/d \quad \rightarrow \quad d = R_s(v/c)^2/h

where h is the strain measured here on Earth. From the figure, $h \sim 1\times10^{-21}$ .

If we approximate the orbital velocity at the time of merging as circular, if would be

v^2 \sim G(M_1+M_2)/(R_{s1}+R_{s2}) \rightarrow (v/c)^2 \sim 0.5

Therefore, to an order of magnitude $d \sim 1.7\ \mathrm{Gpc}$ .

6.7

Supermassive black holes span the range from $10^6M_{\odot}$ to $10^{10}M_{\odot}$ . Using a cosmological distance of $d_{min} \sim 1\mathrm{Gpc}$ to such merging sources, combined with our result for how the strain scales with distance from the previous part of the problem:

h \sim 0.5(R_{s1}+R_{s2})/d

we get:

$h \sim$ from $10^{-17}$ to $10^{-13}$

for the signal from such merging SMBHs. To be detectable, we need a non-trivial signal-to-noise ratio, and thus we can put the minimum sensitivity requirement at

$h_{min} \sim$ from $10^{-18}$ to $10^{-14}$ for the range of masses, corresponding to SMBHs.

Справочный лист 2016: параметры орбит, тел и звёзд

Дополнительный справочный лист из архива того же года; в шапке напечатано «Theo». Ограничения на использование дополнительных данных в отдельных пунктах условия сохраняются.

Body	Distance (AU)	Distance (10⁶ km)	Period (tropical years)	Period (days)	Eccentricity	Equatorial diameter (km)	Mass (10²⁴ kg)	Density (g/cm³)	Gravity (m/s²)	Maximum magnitude	Albedo
Sun	$1.6\cdot10^9$	$2.5\cdot10^{11}$	$2.2\cdot10^8$	$8\cdot10^{10}$		1392000	1989000	1.409		−26.8
Mercury	0.387	57.9	0.241	87.969	0.206	4879	0.3302	5.43	3.70	−2.2	0.06
Venus	0.723	108.2	0.615	224.701	0.007	12104	4.8690	5.24	8.87	−4.7	0.78
Earth	1.000	149.6	1.000	365.256	0.017	12756	5.9742	5.515	9.81		0.36
Moon	0.00257	0.38440	0.0748	27.3217	0.055	3475	0.0735	3.34	1.62	−12.7	0.07
Mars	1.524	227.9	1.880	686.980	0.093	6794	0.6419	3.94	3.71	−2.0	0.15
Ceres	2.77	414	4.60	1681	0.077	963	0.0009	2.16	0.27	6.7	0.09
Jupiter	5.204	778.6	11.862	4332.59	0.048	142984	1899.8	1.33	24.86	−2.7	0.66
Saturn	9.584	1433.7	29.458	10759.20	0.054	120536	568.50	0.70	10.41	0.7	0.68
Uranus	19.191	2871.0	84.015	30685.93	0.046	51118	86.625	1.30	8.44	5.5	0.74
Neptune	30.071	4498.6	164.778	60187.64	0.008	49532	102.78	1.76	11.20	7.8	0.58
Pluto	39.482	5906.4	248.09	90613	0.249	2374	0.0130	1.86	0.61	15.1	0.6
Makemake	45.436	5906.4	306.28	111867	0.163	1502	0.003	1.70	0.40		0.77
Eris	67.668	10210	557	203500	0.441	2326	0.0167	2.52	0.68		0.90

For outer planets and Moon — in mean opposition. Blank cells are blank in the source.

Данные о некоторых звёздах / Data of some stars

Name	Designation	RA	DEC	Distance	Magnitude	Temperature	Mass
Солнце / Sun	☉	0h–24h	−23°26′ to +23°26′	1 au	−26.74	5777 K	1 M☉
Бетельгейзе / Betelgeuse	α Ori	05h55m10s	07°24′25″	197 pc	0.5	3590 K	11.6 M☉
Альфа Центавра / Alpha Centauri A; B	α Cen	14h39m36s	−60°50′07″	1.33 pc	−0.01; 1.33	5810 K; 5260 K	1.11 M☉; 0.93 M☉

В таблице Makemake напечатано 45.436 au и 5906.4 млн км; оба исходных значения сохранены. Звёздная величина Солнца напечатана −26.8 в планетной таблице и −26.74 в таблице звёзд.

Справочный лист 2016: константы и формулы

Constant or formula	Value
Speed of light in vacuum c (m/s)	299792458
Constant of gravitation G (N·m²/kg²)	$6.674\cdot10^{-11}$
Solar constant A (W/m²)	1367
Hubble parameter H₀ (km/s/Mpc), mean	68
Hubble parameter, range	50–100
Planck constant h (J·s)	$6.626\cdot10^{-34}$
Charge of electron e (C)	$1.602\cdot10^{-19}$
Mass of electron mₑ (kg)	$9.109\cdot10^{-31}$
Proton-to-electron ratio	1836.15
Faraday constant F (C/mol)	96485
Magnetic constant μ₀ (H/m)	$1.257\cdot10^{-6}$
Universal gas constant R (J/mol/K)	8.314
Boltzmann constant k (J/K)	$1.381\cdot10^{-23}$
Stefan–Boltzmann constant σ (W/m²/K⁴)	$5.670\cdot10^{-8}$
Wien displacement constant b (m·K)	0.002897
Laboratory wavelength Hα (Å)	6562.81
Tropical year length T (days)	365.242199
Sidereal year length T (days)	365.25636
Anomalistic year length T (days)	365.259636
Nodal period of lunar orbit (years)	−18.6
Standard atmosphere (Pa)	101325
Visible light extinction by terrestrial atmosphere in zenith (minimum)	19%, 0.23 magnitudes
Height of homogeneous atmosphere (m)	7991
Refractive index of water for 20°C n	1.334
Moment of inertia of a solid ball	$I=\frac25MR^2$
Moment of inertia of sphere	$I=\frac23MR^2$
Volume of a ball	$V=\frac43\pi R^3$
Area of sphere	$S=4\pi R^2$
π	3.14159265
e	2.71828183
Golden ratio φ	1.61803399

Оригинал в Архива: bgpract.pdf · официални решения: practical_7ab-solution.pdf · допълнителни данни: practical_7ab.pdf · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png · допълнителни данни: practical_6a-solution.pdf · допълнителни данни: practical_6b-solution.pdf · допълнителни данни: practical_6a.pdf · допълнителни данни: practical_6b.pdf