IAO 2016, Теория, α+β — α-1. Спътник на Марс

• «ситуация невозможна»; гипотетический период около 415 суток.

Note. The given sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations to students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Note. Jury members should evaluate the student’s solutions in essence, and not by looking on formal existence of the mentioned sentences or formulae. The formal presence of the mentioned positions in the text is not necessary to give the respective points. Points should be done if the following steps de facto using these positions.

Найдём расстояние $A$, на котором должен быть спутник, чтобы с него наблюдалось затмение Марсом Солнца «как на Земле». Пусть $R$ – радиус Солнца, $r$ – радиус Марса, $L$ – расстояние от Солнца до Марса. Из равенства угловых размеров:

Для среднего расстояния от Солнца до Марса 1,524 а.е.

Далее главная идея задачи заключается в том, что сравнить это расстояние с размером сферы Хилла, иными словами, с расстоянием от Марса до первой точки Лагранжа. Вычисление положения точек Лагранжа в общем виде довольно сложно, но для случая Марса и Солнца можно работать в приближении $M_M\ll M_S$.

при этом, из условия движения Марса по орбите $GM_S/R^2=\omega^2R$ получаем $\omega^2=GM_S/R^3$,

Решая это уравнение в приближении $M_M\ll M_S$, $\Lambda\ll R$, получаем, что вторая точка Лагранжа находится от Марса на расстоянии

Таким образом, $A>\Lambda$. Орбита спутника должна была бы быть вне сферы Хилла. Марс неминуемо потеряет такой спутник. Рисунок, которым необходимо сопроводить решение, должен описывать необходимое для затмения положение спутника и сферу Хилла или точки Лагранжа.
Ответ: «ситуация невозможна».
Тем не менее, можно найти гипотетический период обращения спутника вокруг Марса по орбите радиуса $A$.

Это 415/687 = 0,6 орбитального периода Марса, что превышает критический коэффициент $1/3^{1/2}$: вокруг планет не существует орбит, период обращения которых превышает $1/3^{1/2}$ периода обращения самой планеты вокруг звезды.

Бележка за източника: формулата за Λ е напечатана без размерния множител R; първо се споменава първата, после втората точка на Лагранж. Запазено е изписаното в ключа.