Съдържание

IAO 2016, Теория, α+β — β-2. Продължителност на денонощието

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2016

XXI Международная астрономическая олимпиада · XXI International Astronomy Olympiad · Болгария, Пампорово-Смолян, 5 – 13. X. 2016 · Round Theo · Group α, β · 5 октомври 2016 г. · 8 т.

Условие

Поради влиянието на Луната въртенето на Земята постепенно се забавя, при което продължителността на денонощието се увеличава с 16 милисекунди за всяко хилядолетие. Но освен това се наблюдават значителни вариации на тази продължителност. Вариациите имат период от година до няколкостотин години. На графиката е дадено изменението на продължителността на денонощието с отчитане на т.нар. „субдекадни“ вариации за периода от 1830 до 2014 г. По вертикалната ос са нанесени отклоненията в милисекунди. Според една от теориите единствена причина за тези вариации са колебанията на нивото на световния океан. В рамките на този модел оценете как се е изменяло нивото на световния океан през тези години. Постройте примерна графика на тези изменения (по хоризонталната ос годините, по вертикалната – измененията на нивото на океана в нужния мащаб).

График изменения продолжительности суток за 1830–2014 годы: временная ось с отметками 1850, 1900, 1950 и 2000; вертикальная ось подписана +4 ms, 0, −4 ms. — Графиката липсва в българския скан; възстановена е от съответното оригинално руско условие.

Отговори

Решение

Note. The given sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations to students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Note. Jury members should evaluate the student’s solutions in essence, and not by looking on formal existence of the mentioned sentences or formulae. The formal presence of the mentioned positions in the text is not necessary to give the respective points. Points should be done if the following steps de facto using these positions.

Начало решения – см. решения для группы Альфа.
Для того, чтобы воспользоваться полученным выше коэффициентом $\Delta h/\Delta T=0{,}11\ \text{м/мс}$ , нужно отделить субдекадные колебания от «лунного тренда», надо вычесть из данного графика график прямой с наклоном 1,6 мс/век. Поскольку требуется нарисовать примерный график, округляем кратковременные колебания. В результате получается график, изображённый справа вверху. Теперь нужно всего лишь перерисовать этот график, изменив по оси $y$ миллисекунды на сантиметры с коэффициентом 11 см/мс. Получается примерно такой график (по оси $y$ – сантиметры).

Двете графики от официалното решение за β-2 — Долната графика е отрязана от края на страницата в самия изходен PDF; липсващата част не е възстановявана.

Общее начало решения: вывод для группы α

α-2. Продолжительность суток. Если единственной причиной субдекадных вариаций являются колебания уровня мирового океана, то физической причиной этого является закон сохранения момента импульса:

L=\operatorname{const}.

Для начала можно решить задачу качественно. Учитывая, что момент импульса является произведением момента инерции системы на угловую скорость $L=I\omega$ , а момент инерции тем больше, чем «шире» система (чем больше массы находятся дальше от оси вращения), можно сделать вывод, что с повышением уровня мирового океана (из-за перемещения тающего льда с приполярных областей на всю поверхность океана) момент инерции Земли увеличивается. Соответственно при этом уменьшается частота вращения Земли, то есть период вращения увеличивается. У нас на графике – наоборот, с 1995 по 2003 год продолжительность суток уменьшилась на 1,8 мс (наоборот, вода с поверхности мирового океана осела вблизи полюсов), соответственно сразу можно сделать вывод, что $\Delta h=-\ldots$

Наша задача оценочная, поэтому мы сразу пренебрежём разницей между продолжительностью суток и периодом обращения вокруг своей оси и отличием формы Земли от шара.
Пусть $M_0$ – масса Земли без слоя приполярного льда, который потом растает. $R$ – средний радиус Земли, $\omega$ – угловая скорость вращения Земли:

L_0=I_0\cdot\omega_0=(2/5\ M_0R^2+I_{ice})\cdot\omega_0.

Через какое-то время, когда часть льда растает:

L_1=I_1\cdot\omega_1=(2/5\ M_0R^2+2/3\ \eta\rho S\Delta h(R+\Delta h/2)^2)\cdot\omega_1,

где $S$ – площадь поверхности Земли, $\rho$ – плотность воды, $\eta$ – отношение поверхности океана к общей поверхности земного шара, таким образом $\eta\rho S\Delta h$ – это масса воды, поднявшей уровень океана на $\Delta h$ .

L_1\approx(2/5\ M_0R^2+2\eta/3\ \rho\,4\pi R^2\Delta h R^2)\cdot\omega_1\approx(2/5\ M_0R^2+8\pi\eta/3\ \rho R^4\Delta h)\cdot\omega_1.

Поскольку $L_0=L_1$ , $I_0\cdot\omega_0=I_1\cdot\omega_1$ ,

\left(2/5\ M_0R^2+I_{ice}\right)\cdot\omega_0=\left(2/5\ M_0R^2+8\pi\eta/3\ \rho R^4\Delta h\right)\cdot\omega_1.

Поскольку приполярный лёд сосредоточен у полюсов, величина $I_{ice}$ незначительна и мы ей также пренебрежём.

8\pi\eta/3\ \rho R^4\Delta h\cdot2\pi/T_1=2/5\ M_0R^2\left(2\pi/T_0-2\pi/T_1\right)=2/5\ M_0R^2\,2\pi(T_1-T_0)/(T_1T_0)

и, поскольку $T_1\approx T_0\approx T$ ,

8\pi\eta/3\ \rho R^4\Delta h=2/5\ M_0R^2\Delta T/T.

\Delta h/\Delta T=3/(20\pi\eta)\ M_0/(T\rho R^2).

Взяв необходимые данные из таблиц, приняв $\eta=0{,}71$ (величины от 2/3 до 3/4 считаются правильными) и взяв плотность солёной воды $\rho=1024\ \text{кг}/\text{м}^3$ , получаем соотношение между отклонениями в уровне мирового океана и продолжительностью суток (без учёта влияния Луны):

\Delta h/\Delta T=0{,}11\ \text{м/мс}.

С 1995 по 2003 год продолжительность суток уменьшилась на 1,8 мс, поэтому

\Delta h=0{,}11\ \text{м/мс}\times-1{,}8\ \text{мс}\approx-0{,}2\ \text{м}=-20\ \text{см}.

(Приполярные льды, наоборот, нарастали, а не таяли).

Basic criteria — β-2

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
1	Understanding to use law of conservation of angular momentum	1
2	Correct equation of conservation of angular momentum	1
3	Explanation what we can neglect	1
4	Correct using all necessary parameters	1
5	Algebraic transformations and correct formula for $Δh/ΔT$	2
6	Subtraction 1.6 ms / century	1
7	Final graph	1

Evaluation criteria — K. Pimsamarn (TH), β-2

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
2.1	Conservation of Angular Momentum	1
2.2	Correct Formulation	1
2.3	Polar Ice Approximation	1
2.4	Parameter Substitutions	1
2.5	Transformation of Equation into $Δh/ΔT$	2
2.6	Subtraction by 1.6 ms/100 yrs	1
2.7	Final Graph	1

Equivalent correct parts of other ways of solution: 8. Extra conclusions or correct additions (add. to 8 pt): no separate value entered.

Оригинал в Архива: bgtheo.pdf · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: theo_ru.pdf · допълнителни данни: theocriteria.pdf · допълнителни данни: criteria1.pdf · допълнителни данни: criteria2.pdf · допълнителни данни: criteria3.pdf · допълнителни данни: betatheo1.png · допълнителни данни: betatheo2.png · допълнителни данни: instructions.png · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png