Съдържание

IAO 2016, Теория, α+β — β-1. Сфера на Дайсън

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2016

XXI Международная астрономическая олимпиада · XXI International Astronomy Olympiad · Болгария, Пампорово-Смолян, 5 – 13. X. 2016 · Round Theo · Group α, β · 5 октомври 2016 г. · 8 т.

Условие

Съществува фантастична хипотеза, че Бетелгейзе не е червен свръхгигант, а изкуствена конструкция, сфера на Дайсън, построена около звездата от свръх-високо-температурна цивилизация. Разбира се, радиусът на конструираната сфера е станал такъв, какъвто по-рано е бил радиусът на орбитата на предишната планета на тази цивилизация. Оценете орбиталния период на тази предишна планета.

Отговори

Решение

Note. The given sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations to students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Note. Jury members should evaluate the student’s solutions in essence, and not by looking on formal existence of the mentioned sentences or formulae. The formal presence of the mentioned positions in the text is not necessary to give the respective points. Points should be done if the following steps de facto using these positions.

Как известно, период обращения планеты по круговой орбите вокруг звезды зависит только от массы звезды. Поэтому совершенно не важно, какой размер изначально имела звезда. Выведем формулу для нахождения этого периода для крайнего случая, когда радиус орбиты равен радиусу звезды $R$ :

\tau=2\pi/\omega,\quad\omega^2\cdot R=GM/R^2,\quad\omega^2=GM/R^3=4/3\pi G\rho,\quad\tau=(3\pi/G\rho)^{1/2}.

Таким образом, период зависит только от плотности шара, непосредственно вдоль поверхности которого происходит круговое движение, а в нашем случае – от плотности нынешней Бетельгейзе.
Все необходимые данные берём из таблиц. Бетельгейзе имеет звёздную величину $0{,}5^m$ и находится от нас на расстоянии

D_B=206265\text{ а.е./пк}\times197\text{ пк}\approx40\ 600\ 000\text{ а.е.}

При удалении на такое расстояние Солнце имело бы звёздную величину

m_1=-26{,}74^m+5^m\lg40\ 600\ 000\approx-26{,}74^m+38{,}04^m\approx11{,}30^m.

Таким образом, разница абсолютных звёздных величин Солнца и Бетельгейзе составит

\Delta m=11{,}3^m-0{,}5^m=10{,}8^m.

Это значит, что светимость Бетельгейзе $L_B$ больше светимости Солнца $L_0$ в

L_B/L_0=100^{10{,}8/5}\approx21000\text{ раз.}

Светимость звезды $L$ пропорциональна площади её поверхности и четвёртой степени температуры поверхности, то есть, $L\sim R^2T^4$ . Плотность звезды равна её массе, делённой на объём, то есть, пропорциональна $M/R^3$ . Таким образом, $\rho\sim MT^6/L^{3/2}$ . Соотношение масс Бетельгейзе и Солнца, их температуры можно найти из таблицы звёзд, 11,6, 3590 К и 5777 К соответственно. Сравнивая плотности Бетельгейзе и Солнца (из таблицы Солнечной Системы $\rho_0\approx1410\ \text{кг}/\text{м}^3$ ), получаем плотность Бетельгейзе

\rho_B=\rho_0\cdot(M_B/M_0)\cdot(T_B/T_0)^6\cdot(L_B/L_0)^{-3/2}\approx3{,}1\cdot10^{-4}\ \text{кг}/\text{м}^3.

В нашем случае

\tau=(3\pi/G)^{1/2}\cdot\rho_0^{-1/2}\cdot(M_B/M_0)^{-1/2}\cdot(T_B/T_0)^{-3}\cdot(L_B/L_0)^{3/4}\approx2{,}13\cdot10^7\text{ с}\approx247\text{ сут.}

Однако, задача оценочная, поэтому точность возможна не более чем в две значащие цифры и в ответе неуместна, правильный ответ: около 250 суток.

Basic criteria — β-1

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
1	Initial size of the star does not matter (period depends on the mass)	1
2	Period depends on the density of the modern Betelgeuse	1
3	Using difference in luminosities	2
4	Using irradiation law	1
5	Finding the density of the modern Betelgeuse	1
6	Finding orbital period	1
7	Correct accuracy in the answer (not more 2 significant digits)	1

Evaluation criteria — Ota Kéhar (CZ), β1

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
1	I do not use “Initial size of the star does not matter”, because nobody of participant using this way	0
2	I do not use “Period depends on density…” because nobody was using	0
3 / a	I use “Using difference in luminosities”	2
4 / b	I use “Using irradiation law”	1
5	I do not use “Finding the density…” because nobody was using	0
6 / c	I use “Finding radius of Betelgeuse”	2
7 / d	I use “Using 3rd Kepler’s Law for period”	1
8 / e	I use “Finding orbital period”	1
9 / f	I use “Correct accuracy in the answer (not more 2 significant digits)”	1

Equivalent correct parts of other ways of solution: 8. Extra conclusions or correct additions (add. to 8 pt): no separate value entered. The preprinted group box says α, while the handwritten problem number says β1; ownership follows the actual Dyson-sphere criteria.

Оригинал в Архива: bgtheo.pdf · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: theo_ru.pdf · допълнителни данни: theocriteria.pdf · допълнителни данни: criteria1.pdf · допълнителни данни: criteria2.pdf · допълнителни данни: criteria3.pdf · допълнителни данни: betatheo1.png · допълнителни данни: betatheo2.png · допълнителни данни: instructions.png · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png