Съдържание

Условие Отговори Решение

IAO 2016, Теория, α+β — Задача 1β. Сфера Дайсона.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2016

XXI Международная астрономическая олимпиада · Задачи теоретического тура · 5 октомври 2016 г.

Бележка от източника

Group α

Бележка от източника

Group β

Бележка от източника

Group α β

Общее введение к задачам 3 и 4. Небесное предзнаменование.

22 июня 813 года н.э., после 15 дней стояния друг напротив друга, болгарский хан Крум разбил византийскую армию императора Михаила I Рангави близ Адрианополя (современный Эдирне, Турция) и взял город. После этой победы болгарское войско двинулось на Константинополь и осадило столицу Византии. Не исключено, что на исход битвы повлияло суеверие военачальников, боязнь астрономического события, описанного в византийских хрониках: «Когда две армии, болгарская на северо-западе и греческая на юго-востоке, сошлись, страшное небесное предзнаменование явилось взору воинов: две кометы, яркие как луны, отделились одна от другой». Ряд историков астрономии полагает, что это одно из первых описаний разделения кометного ядра. Однако возможны и другие варианты.

Элементы орбит и физические характеристики планет, некоторых карликовых планет, Солнца и Луны / Parameters of orbits and physical characteristics of planets, some dwarf planets, Sun and Moon

Небесное тело, планета / Body, planet	Среднее расстояние от центрального тела, в астр. ед. / Average distance to central body, in astr. units	в млн. км / in mln. km	Сидерический период обращения, в тропич. годах / Sidereal (or analogous) period, in tropical years	в средних сутках / in days	Эксцентриситет, e / Eccentricity	Экваториальный диаметр, км / Equat. diameter	Масса, 10²⁴ кг / Mass	Средняя плотность, г/см³ / Av. density	Ускор. своб. пад. у пов., м/с² / Grav. acceler. at surf.	Макс. блеск, вид. с Земли / Max. magn. from Earth	Альбедо / Albedo
Солнце / Sun	1,6·10⁹	2,5·10¹¹	2,2·10⁸	8·10¹⁰		1392000	1989000	1,409		-26,8ᵐ
Меркурий / Mercury	0,387	57,9	0,241	87,969	0,206	4 879	0,3302	5,43	3,70	-2,2ᵐ	0,06
Венера / Venus	0,723	108,2	0,615	224,701	0,007	12 104	4,8690	5,24	8,87	-4,7ᵐ	0,78
Земля / Earth	1,000	149,6	1,000	365,256	0,017	12 756	5,9742	5,515	9,81		0,36
Луна / Moon	0,00257	0,38440	0,0748	27,3217	0,055	3 475	0,0735	3,34	1,62	-12,7ᵐ	0,07
Марс / Mars	1,524	227,9	1,880	686,980	0,093	6 794	0,6419	3,94	3,71	-2,0ᵐ	0,15
Церера / Ceres	2,77	414	4,60	1 681	0,077	963	0,0009	2,16	0,27	6,7ᵐ	0,09
Юпитер / Jupiter	5,204	778,6	11,862	4 332,59	0,048	142 984	1899,8	1,33	24,86	-2,7ᵐ	0,66
Сатурн / Saturn	9,584	1433,7	29,458	10 759,20	0,054	120 536	568,50	0,70	10,41	0,7ᵐ	0,68
Уран / Uranus	19,191	2871,0	84,015	30 685,93	0,046	51 118	86,625	1,30	8,44	5,5ᵐ	0,74
Нептун / Neptune	30,071	4498,6	164,778	60 187,64	0,008	49 532	102,78	1,76	11,20	7,8ᵐ	0,58
Плутон / Pluto	39,482	5906,4	248,09	90 613	0,249	2 374	0,0130	1,86	0,61	15,1ᵐ	0,6
Makemake / Makemake	45,436	5906,4	306,28	111 867	0,163	1 502	0,003	1,70	0,40		0,77
Эрида / Eris	67,668	10210	557	203 500	0,441	2 326	0,0167	2,52	0,68		0,90

**) Для внешних планет и Луны – в среднем противостоянии. / For outer planets and Moon – in mean opposition.

Данные о некоторых звёздах / Data of some stars

Звезда / Star	Обозначение	R.A.	DEC	Расстояние / Distance	Зв. вел. / Mag.	Температура / Temperature	Масса / Mass
Солнце / Sun	☉	0ʰ–24ʰ	-23°26′–+23°26′	1 au	-26ᵐ.74	5777 K	1 M☉
Бетельгейзе / Betelgeuse	α Ori	05ʰ 55ᵐ 10ˢ	07° 24′ 25″	197 pc	0ᵐ.5	3590 K	11.6 M☉
Альфа Центавра / Alpha Centauri	α Cen	14ʰ 39ᵐ 36ˢ	-60° 50′ 07″	1.33 pc	-0ᵐ.01 / 1ᵐ.33	5810 K / 5260 K	1.11 M☉ / 0.93 M☉

Некоторые константы и формулы / Some constants and formulae

Величина / Quantity	Значение
Скорость света в вакууме, c (м/с) / Speed of light in vacuum	299 792 458
Гравитационная постоянная, G (Н·м²/кг²) / Constant of gravitation	6.674·10⁻¹¹
Солнечная постоянная, A (Вт/м²) / Solar constant	1367
Параметр Хаббла, H₀ (км/с/МПк) / Hubble parameter, mean; range	68; 50–100
Постоянная Планка, h (Дж·с) / Planck constant	6.626·10⁻³⁴
Заряд электрона, e (Кл) / Charge of electron	1.602·10⁻¹⁹
Масса электрона, mₑ (кг) / Mass of electron	9.109·10⁻³¹
Соотношение масс протона и электрона / Proton-to-electron mass ratio	1836.15
Постоянная Фарадея, F (Кл/моль) / Faraday constant	96 485
Магнитная постоянная, μ₀ (Гн/м) / Magnetic constant	1.257·10⁻⁶
Универсальная газовая постоянная, R (Дж/моль/К) / Universal gas constant	8.314
Постоянная Больцмана, k (Дж/К) / Boltzmann constant	1.381·10⁻²³
Постоянная Стефана-Больцмана, σ (Вт/м²/К⁴) / Stefan-Boltzmann constant	5.670·10⁻⁸
Константа смещения Вина, b (м·К) / Wien’s displacement constant	0.002897
Лабораторная длина волны Hα (Å) / Laboratory wavelength	6562.81
Длина тропического года, T (сут) / Tropical year length	365.242199
Длина сидерического года, T (сут) / Sidereal year length	365.25636
Длина аномалистического года, T (сут) / Anomalistic year length	365.259636
Период обращения узлов лунной орбиты (лет) / Nodal period of lunar orbit	-18.6
Стандартная атмосфера (Па) / Standard atmosphere	101 325
Ослабление видимого света слоем 1 атмосферы (минимально) / Visible light extinction in zenith	19%, 0.23ᵐ
Высота однородной атмосферы (м) / Height of homogeneous atmosphere	7991
Показатель преломления воды при 20°C, n / Refractive index of water	1.334
Момент инерции шара / Moment of inertia of a solid ball	I=²⁄₅MR²
Момент инерции сферы / Moment of inertia of sphere	I=²⁄₃MR²
Объём шара / Volume of a ball	V=⁴⁄₃πR³
Площадь сферы / Area of sphere	S=4πR²
π	3.14159265
e	2.71828183
Золотое сечение, φ / Golden ratio	1.61803399

Теоретический тур. Предварительные решения. Только для работы жюри

Note. The given sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations to students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Note. Jury members should evaluate the student’s solutions in essence, and not by looking on formal existence the mentioned sentences or formulae. The formal presence of the mentioned positions in the text is not necessary to give the respective points. Points should be done if the following steps de facto using these positions.

Условие

Существует фантастическая гипотеза, что Бетельгейзе – это не красный сверхгигант, а искусственная конструкция, сфера Дайсона, сооружённая вокруг своей звезды сверх-высоко-температурной цивилизацией. Естественно, радиус построенной сферы стал таким, каким ранее был радиус орбиты их прежней планеты. Оцените орбитальный период их прежней планеты.

Отговори

Решение

β-1. Сфера Дайсона. Как известно, период обращения планеты по круговой орбите вокруг звезды зависит только от массы звезды. Поэтому совершенно не важно, какой размер изначально имела звезда. Выведем формулу для нахождения этого периода для крайнего случая, когда радиус орбиты равен радиусу звезды $R$ :

\tau=2\pi/\omega,\quad\omega^2\cdot R=GM/R^2,\quad\omega^2=GM/R^3=4/3\pi G\rho,\quad\tau=(3\pi/G\rho)^{1/2}.

Таким образом, период зависит только от плотности шара, непосредственно вдоль поверхности которого происходит круговое движение, а в нашем случае – от плотности нынешней Бетельгейзе.
Все необходимые данные берём из таблиц. Бетельгейзе имеет звёздную величину $0{,}5^m$ и находится от нас на расстоянии

D_B=206265\text{ а.е./пк}\times197\text{ пк}\approx40\ 600\ 000\text{ а.е.}

При удалении на такое расстояние Солнце имело бы звёздную величину

m_1=-26{,}74^m+5^m\lg40\ 600\ 000\approx-26{,}74^m+38{,}04^m\approx11{,}30^m.

Таким образом, разница абсолютных звёздных величин Солнца и Бетельгейзе составит

\Delta m=11{,}3^m-0{,}5^m=10{,}8^m.

Это значит, что светимость Бетельгейзе $L_B$ больше светимости Солнца $L_0$ в

L_B/L_0=100^{10{,}8/5}\approx21000\text{ раз.}

Светимость звезды $L$ пропорциональна площади её поверхности и четвёртой степени температуры поверхности, то есть, $L\sim R^2T^4$ . Плотность звезды равна её массе, делённой на объём, то есть, пропорциональна $M/R^3$ . Таким образом, $\rho\sim MT^6/L^{3/2}$ . Соотношение масс Бетельгейзе и Солнца, их температуры можно найти из таблицы звёзд, 11,6, 3590 К и 5777 К соответственно. Сравнивая плотности Бетельгейзе и Солнца (из таблицы Солнечной Системы $\rho_0\approx1410\ \mathrm{кг/м^3}$ ), получаем плотность Бетельгейзе

\rho_B=\rho_0\cdot(M_B/M_0)\cdot(T_B/T_0)^6\cdot(L_B/L_0)^{-3/2}\approx3{,}1\cdot10^{-4}\ \mathrm{кг/м^3}.

В нашем случае

\tau=(3\pi/G)^{1/2}\cdot\rho_0^{-1/2}\cdot(M_B/M_0)^{-1/2}\cdot(T_B/T_0)^{-3}\cdot(L_B/L_0)^{3/4}\approx2{,}13\cdot10^7\text{ с}\approx247\text{ сут.}

Однако, задача оценочная, поэтому точность возможна не более чем в две значащие цифры и в ответе неуместна, правильный ответ: около 250 суток.

Бележка от източника

Задачи 3, 4, 5 – см. стр. 2.
Problems 3, 4, 5 – see page 2.

Бележка от източника

Задачи 3, 4, 5 – см. стр. 2.
Problems 3, 4, 5 – see page 2.

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Звезди · Небесна механика · Свойства на звездите · Закони на Кеплер

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: theo_ru.pdf · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png