Съдържание

IEPhO 2019, Експеримент, 11. клас — Задача 1.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2019

International Experimental Physics Olympiad – 2019, Belarus. Первый тур, 11-1. Неизвестный газ

Внимание!

В задаче не требуется оценка погрешностей!

Внимание! Не распыляйте газ в аудитории и не вдыхайте его! Прокручивание шестеренки на зажигалке более чем на три оборота приводит к неконтролируемому выбросу газа!

Задание

Вам выдана зажигалка, внутри которой находится неизвестное вещество (сжиженный газ). Подача газа производится нажатием на маленький рычаг, присоединенный к соплу зажигалки. Скорость подачи газа регулируется черной шестеренкой.

Условие

Измерьте молярную массу неизвестного вещества.

Отговори

Решение

Для измерения молярной массы вещества внутри зажигалки надуем этим веществом шарик, подсоединив зажигалку к нему при помощи трубки с зажимом. После этого взвесим зажигалку и получим массу вещества в газообразном состоянии внутри воздушного шарика $m_{\text{г}} = m_{\text{з}}^{(0)} - m_{\text{з}}$ , где $m_{\text{з}}^{(0)}$ — начальная масса зажигалки с газом.

Теперь взвесим шарик (с трубкой, зажимом, впускной системой и иголкой), поместив его в стакан с гайками. Изменение показаний весов при его взвешивании по сравнению с ненадутым шариком будет обусловлено не только изменением массы вещества внутри шарика, но и силой Архимеда:

\Delta m_{\text{ш}} = m_{\text{г}} - \rho_{\text{в}}V, \qquad (3)

где $\rho_{\text{в}}$ — плотность окружающего воздуха, $V$ — объем воздушного шарика. Для окружающего шарик воздуха можно записать закон Менделеева-Клапейрона:

P_0 = \frac{\rho_{\text{в}}}{\mu_{\text{в}}}RT, \qquad (4)

где $\mu_{\text{в}}$ — молярная масса воздуха, $T$ — температура окружающего воздуха. Для вещества внутри шарика также можно записать закон Менделеева-Клапейрона. Считая давление в шарике равным атмосферному, а температуру равной температуре окружающего воздуха, получим:

P_0V = \frac{m_{\text{г}}}{\mu_{\text{г}}}RT, \qquad (5)

где $\mu_{\text{г}}$ — молярная масса вещества. Из (4) и (5) получим следующее выражение:

\rho_{\text{в}}V = \frac{m_{\text{г}}\mu_{\text{в}}}{\mu_{\text{г}}}. \qquad (6)

Подставим его в формулу (3):

\frac{m_{\text{г}}\mu_{\text{в}}}{\mu_{\text{г}}} = m_{\text{г}} - \Delta m_{\text{ш}}. \qquad (7)

Повторим описанные измерения для разных масс газа в шарике, получим зависимость $\Delta m_{\text{ш}}$ от $m_{\text{г}}$ и построим ее график в координатах $m_{\text{г}} - \Delta m_{\text{ш}}$ от $m_{\text{г}}$ . Согласно (7), эта зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом, равным отношению молярных масс воздуха и вещества в зажигалке.

$m_{\text{г}}$ , г	$\Delta m_{\text{ш}}$ , г	$m_{\text{г}} - \Delta m_{\text{ш}}$ , г	$h$ , см
0.00	0.00	0.00	2.80
0.25	0.13	0.12	2.40
0.48	0.26	0.22	2.10
0.68	0.35	0.33	1.90
1.06	0.55	0.51	1.50
1.36	0.67	0.69	1.10
1.68	0.77	0.91	0.80

График на миллиметровой сетке: по горизонтали $m_{\text{г}}$, г от 0 до 1.8, по вертикали $m_{\text{г}} - \Delta m_{\text{ш}}$, г от 0 до 1.0; семь синих точек из таблицы и прямая через начало координат, проходящая через первые пять точек; две верхние точки (1.36; 0.69) и (1.68; 0.91) лежат выше прямой. — График зависимости $m_{\text{г}} - \Delta m_{\text{ш}}$ от $m_{\text{г}}$

Из графика хорошо видно, что две верхние точки графика лежат явно выше прямой, проходящей через остальные точки. Это можно объяснить тем, что при больших объемах шарика толщина его стенок становится малой и газ заметно диффундирует через стенки. Из-за этого понижается масса шарика, что и приводит к увеличению вертикальной координаты графика. Однако при больших толщинах шарика диффузия не оказывает значительного эффекта, и экспериментальные точки хорошо описываются исходной теоретической моделью. Угловой коэффициент прямой, описывающей первые точки графика, равен:

A_1 = \frac{\mu_{\text{в}}}{\mu_{\text{г}}} = 0.48, \qquad (8)

откуда молярная масса вещества:

\mu_{\text{г}} = \frac{\mu_{\text{в}}}{A_1} = 60\ \frac{\text{г}}{\text{моль}}. \qquad (9)

Примечания

Для измерения масс тел, не помещающихся на платформе весов, используйте стакан (без воды) с гайками на дне для его устойчивости. Кнопка "TARE" позволяет принять массу лежащего на весах груза за ноль.
Считайте известной молярную массу воздуха $\mu_{\text{в}} = 29\ \text{г/моль}$ .
Считайте плотность резины, из которой изготовлен шарик, равной плотности воды.
Диффузией воздуха через стенки шарика можно пренебречь.
Комнатную температуру вам сообщат организаторы в начале тура.

Оборудование

Зажигалка с неизвестным сжиженным газом, воздушный шарик массой $M = 3.50\ \text{г}$ с впускной системой, иголка с силиконовой трубкой для соединения зажигалки и шарика, линейка, весы, кружка с водой, стакан 0.5 л без воды, гайки, секундомер.

Оригинал в Архива: 11_1_gas.pdf