Съдържание

IEPhO 2019, Експеримент, 11. клас — Задача 1.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2019

International Experimental Physics Olympiad – 2019, Belarus. Первый тур, 11-1. Неизвестный газ

Внимание!

В задаче не требуется оценка погрешностей!

Внимание! Не распыляйте газ в аудитории и не вдыхайте его! Прокручивание шестеренки на зажигалке более чем на три оборота приводит к неконтролируемому выбросу газа!

Задание

Вам выдана зажигалка, внутри которой находится неизвестное вещество (сжиженный газ). Подача газа производится нажатием на маленький рычаг, присоединенный к соплу зажигалки. Скорость подачи газа регулируется черной шестеренкой.

Условие

Количество газа в надутом шарике будет уменьшаться со временем из-за диффузии газа через стенки шарика. Плотность потока частиц газа $j$ (число частиц, пересекающих единицу площади в единицу времени) через стенку шарика прямо пропорциональна разности концентраций газа $\Delta n$ по разные стороны от стенки:

j = D\frac{\Delta n}{d}. \qquad (1)

Здесь $D$ — коэффициент диффузии, $d$ — толщина стенки шарика. Оцените коэффициент диффузии газа через стенки воздушного шарика.

Отговори

Решение

Для определения коэффициента диффузии снимем зависимость массы газа в шарике $m_{\text{г}}$ от времени после его надувания. Толщина стенок шарика будет изменяться со временем. Оценим ее как отношение объема шарика к площади его поверхности $S$ :

d = \frac{M}{S\rho_{\text{р}}}. \qquad (14)

Здесь $M = 3.50\ \text{г}$ — заданная в условии масса шарика, $\rho_{\text{р}}$ — плотность резины (которую мы приняли равной плотности воды). Форму шарика будем считать приблизительно шарообразной, тогда для площади поверхности имеем:

S = 4\pi r^2, \qquad (15)

где $r$ — характерный радиус шарика. Объем же шарика задается его радиусом:

V = \frac{4\pi r^3}{3}. \qquad (16)

Умножив обе части формулы (1) на массу одной молекулы вещества и площадь поверхности шарика, получим:

\frac{dm_{\text{г}}}{dt} = -D\frac{\rho_{\text{г}}}{d}S, \qquad (17)

где $\rho_{\text{г}}$ — плотность газа при атмосферном давлении (будем считать давление в надутом шарике в процессе диффузии примерно постоянным и равным атмосферному). С учетом выражения для толщины стенок шарика (14) получим:

\frac{dm_{\text{г}}}{dt} = -D\frac{\rho_{\text{г}}\rho_{\text{р}}}{M}S^2. \qquad (18)

Выразим площадь поверхности шарика через его объем:

\frac{dm_{\text{г}}}{dt} = -D\frac{\rho_{\text{г}}\rho_{\text{р}}}{M}16\pi^2\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{4}{3}}. \qquad (19)

Объем газа свяжем с его массой через плотность $V = \dfrac{m}{\rho_{\text{г}}}$ , тогда выражение (19) примет вид:

\frac{dm_{\text{г}}}{dt} = -D\frac{\rho_{\text{р}}}{M\rho_{\text{г}}^{\frac{1}{3}}}16\pi^2\left(\frac{3m_{\text{г}}}{4\pi}\right)^{\frac{4}{3}}. \qquad (20)

Разделим переменные и проинтегрируем:

\frac{1}{m_{\text{г}}^{1/3}} - \frac{1}{m_0^{1/3}} = D\frac{\rho_{\text{р}}}{M\rho_{\text{г}}^{\frac{1}{3}}}4\pi\left(\frac{3}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}t, \qquad (21)

где $m_0$ — начальная масса газа в шарике.

Преобразуем формулу (7) для связи массы газа в шарике и показаний весов при его взвешивании:

m_{\text{г}} = \Delta m_{\text{ш}}\frac{\mu_{\text{г}}}{\mu_{\text{г}} - \mu_{\text{в}}}, \qquad (22)

а также запишем выражение для плотности газа внутри шарика, считая что в шарике находится только неизвестный газ:

\rho_{\text{г}} = \frac{P_0\mu_{\text{г}}}{RT} \qquad (23)

Подставим полученные выражения в формулу (21):

\frac{1}{\Delta m_{\text{ш}}^{1/3}} - \frac{1}{\Delta m_{\text{ш}0}^{1/3}} = D\frac{\rho_{\text{р}}(RT)^{\frac{1}{3}}}{M(P_0(\mu_{\text{г}} - \mu_{\text{в}}))^{\frac{1}{3}}}4\pi\left(\frac{3}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}t. \qquad (24)

Таким образом, в описанной модели график $\frac{1}{\Delta m_{\text{ш}}^{1/3}}(t)$ должен быть линеен. Измерим зависимость показаний весов от времени и построим ее график:

$t$ , мин	$\Delta m_{\text{ш}}$ , г	$\Delta m_{\text{ш}}^{-\frac{1}{3}}$ , г $^{-\frac{1}{3}}$
0	0.77	1.09
1	0.77	1.09
4	0.69	1.13
6	0.67	1.14
8	0.64	1.16
10	0.62	1.17
12	0.58	1.20
15	0.56	1.21
17	0.53	1.24
20	0.52	1.24
24	0.48	1.28
33	0.44	1.31

График на миллиметровой сетке: по горизонтали $t$, мин от 0 до 30, по вертикали $\Delta m_{\text{ш}}^{-\frac{1}{3}}$ г$^{-\frac{1}{3}}$ от 1.00 до 1.40; синие точки из таблицы и возрастающая прямая от 1.09 при $t = 0$ примерно до 1.35 при $t = 30$; точки при 20 и 24 мин лежат ниже прямой. — График зависимости $\Delta m_{\text{ш}}^{-\frac{1}{3}}$ от $t$

Определим угловой коэффициент графика:

A_3 = D\frac{\rho_{\text{р}}(RT)^{\frac{1}{3}}}{M(P_0(\mu_{\text{г}} - \mu_{\text{в}}))^{\frac{1}{3}}}4\pi\left(\frac{3}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}} = 8.6\cdot 10^{-3}\ \frac{1}{\text{г}^{\frac{1}{3}}\text{мин}} = 1.43\cdot 10^{-4}\ \frac{1}{\text{г}^{\frac{1}{3}}\text{с}}, \qquad (25)

из которого выразим коэффициент диффузии:

D = \frac{MA_3}{4\pi\rho_{\text{р}}}\left(\frac{4\pi P_0(\mu_{\text{г}} - \mu_{\text{в}})}{3RT}\right)^{\frac{1}{3}} = 7\cdot 10^{-10}\ \frac{\text{м}^2}{\text{с}}. \qquad (26)

Примечания

Для измерения масс тел, не помещающихся на платформе весов, используйте стакан (без воды) с гайками на дне для его устойчивости. Кнопка "TARE" позволяет принять массу лежащего на весах груза за ноль.
Считайте известной молярную массу воздуха $\mu_{\text{в}} = 29\ \text{г/моль}$ .
Считайте плотность резины, из которой изготовлен шарик, равной плотности воды.
Диффузией воздуха через стенки шарика можно пренебречь.
Комнатную температуру вам сообщат организаторы в начале тура.

Оборудование

Зажигалка с неизвестным сжиженным газом, воздушный шарик массой $M = 3.50\ \text{г}$ с впускной системой, иголка с силиконовой трубкой для соединения зажигалки и шарика, линейка, весы, кружка с водой, стакан 0.5 л без воды, гайки, секундомер.

Оригинал в Архива: 11_1_gas.pdf