IEPhO 2019, Експеримент, 11. клас — Задача 5C. Часть C. Теория

International Experimental Physics Olympiad – 2019, Belarus. Третий тур, 11-5. Теплопроводность и теплопотери

Условие

В этой части мы выведем зависимость температуры от координаты вдоль стержня, то есть уравнение (4). Рассмотрим некоторый кусок стержня, расположенный между точками $x$ и $x + dx$. Слева от него стержень горячее, поэтому наш кусок получает в единицу времени теплоту $q(x)$. Через правую границу наш кусок отдаёт в единицу времени теплоту $q(x+dx)$ (см. рисунок 2). Рассматриваемый кусок мал по длине, поэтому можно считать, что его температура одинакова и равна $T(x)$. Более того, мы рассматриваем стационарный случай, то есть температура не меняется со временем.

Задание.

4. Запишите уравнение теплового баланса для рассматриваемого куска стержня. Ответ выразите через обозначенные выше теплоты и температуру. Также вам известны: температура окружающей среды $T_0$, коэффициент теплопотерь $\alpha$, периметр сечения стержня $P$, длина кусочка $dx$.

5. Из уравнения теплового баланса можно получить дифференциальное уравнение для температуры, в таком уравнении неизвестными являются функция $T(x)$ и её производные. Получите такое уравнение, для этого воспользуйтесь разложением $q(x + dx) \approx q(x) + q'(x) dx$ и выражением

где $\lambda$ – коэффициент теплопроводности, $S$ – площадь поперечного сечения.

6. Решение полученного уравнения записывается в виде

где $C_1, C_2, C_3$ – некоторые константы, которые можно найти из граничных условий и здравого смысла, а величину $k$ можно определить, подставив $T(x)$ в дифференциальное уравнение, полученное в предыдущем пункте. Нагреватель находится в точке с координатой 0, температура стержня в этой точке $T(0) = T_{max}$. Определите значения констант $C_1, C_2, C_3, k$.

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: 11_3_thcond.pdf