Съдържание

IOAA 2012, Теория — Задача 17. Long Questions — 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2012

6th International Olympiad on Astronomy and Astrophysics — Theoretical Exam · 4 август 2012 г.

Внимание: Бележка към темата

Българските условия са запазени. Добавени са английски решения и критерии от отделен архивен файл, с обозначени разминавания между източниците. Инструкциите дават 10 точки за кратка и 30 точки за дълга задача. Архивното съхранение не установява официално издателско право.

Общи инструкции. Теоретичен и практически тур

Продължителността на всеки тур е 5 часа.
Напишете Вашия Student ID код (а не Вашето име!) на всяка страница за решения.
Всеки тур е индивидуален и използването на каквито и да било материали, които не са Ви предоставени от организаторите е забранено.
Таблица с константи и необходима информация за теоретичния тур ще бъде предоставена на всички ученици.
Калкулатори ще бъдат предоставени на всички участници, от организаторите. Само тези калкулатори могат да бъдат използвани по време на теоретичния и практическия тур.
Условията на задачите ще Ви бъдат дадени, разпечатани на хартия, а също ще разполагате и с една страница за всяка задача, на която да напишете решението си.
Максималният резултат за всяка къса теоретична задача е 10 точки, за всяка дълга е 30 точки.
Ще Ви бъде предоставена светло зелена хартия, която можете да използвате като чернова.
Крайното решение на всяка задача трябва да бъде написано на листа, предназначен за съответната задача. В случай, че имате нужда от още листи, уведомете квесторите и се уверете,че сте изписали Вашия код и номера на задачата на всеки допълнителен лист. Използвайте римски цифри.
Можете да записвате Вашите изчисления с молив, но крайните решения трябва да са изписани със син химикал. Сини химикали ще Ви бъдат предоставени от организаторите.
Номерирайте страниците, така че да има информация колко листа сте използвали. Ако например, до края на тура използвате 15 листа, то номерирайте ги така: 1/15, 2/15, 3/15 и т.н.

Константи и необходима информация

Величина	Стойност
Маса на Земята	$5.98\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$6.38\cdot10^6\,\mathrm m$
Земно ускорение	$9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$
Наклон на земната ос	$23^\circ27'$
Тропична година	365.2422 средни слънчеви дни
Сидерична година	365.2564 средни слънчеви дни
Албедо на Земята	0.39
Маса на Луната	$7.35\cdot10^{22}\,\mathrm{kg}$
Радиус на Луната	$1.74\cdot10^6\,\mathrm m$
Средно разстояние Земя–Луна	$3.84\cdot10^8\,\mathrm m$
Наклон на лунната орбита	$5.14^\circ$
Албедо на Луната	0.14
Видима величина на пълната Луна	$-12.74$
Маса на Слънцето	$1.99\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}$
Светимост на Слънцето	$3.83\cdot10^{26}\,\mathrm W$
Абсолютна величина на Слънцето	4.72
Ъглов диаметър на Слънцето	$0.5^\circ$
Маса на Юпитер	$1.89\cdot10^{27}\,\mathrm{kg}$
Диаметър на човешката зеница	$6\,\mathrm{mm}$
Височина на статуята на Христос	$39.60\,\mathrm m$
Височина на Айфеловата кула	$324\,\mathrm m$
Астрономическа единица	$1.50\cdot10^{11}\,\mathrm m$
Голяма полуос на Марс	$1.52\,\mathrm{AU}$
Голяма полуос на Юпитер	$5.20\,\mathrm{AU}$
Парсек	$206265\,\mathrm{AU}$
Разстояние до звездата на Барнард	$1.83\,\mathrm{pc}$
Гравитационна константа	$6.67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Константа на Планк	$6.62\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$1.38\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-2}}$
Константа на Стефан–Болцман	$5.67\cdot10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Константа на Хъбъл	$72\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$
Скорост на светлината	$299792458\,\mathrm{m\,s^{-1}}$
Маса на протона	$938.27\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$
Маса на деутерия	$1875.60\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$
Маса на неутрона	$939.56\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$
Маса на $\mathrm{He}^3$	$2808.30\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$
Маса на $\mathrm{He}^4$	$3727.40\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$

Печатна единица: За константата на Болцман оригиналната таблица показва $\mathrm{J\,K^{-2}}$ ; запазена е без физическа нормализация.

Допълнителна информация

За спиралните галактики зависимостта на Тъли–Фишер има вида $L=k(\Delta V)^4$ , където $\Delta V=V_2-V_1=2v_{\rm rot}^{\max}$ и $k=0.317\,L_\odot(\mathrm{km\,s^{-1}})^{-4}$ .

Съставът на Вселената в таблицата е: барионна материя 4%, тъмна материя 22%, тъмна енергия 74%.

Условие

Астрономи са изследвали спирална галактика, която е наклонена към равнината на небесната сфера под ъгъл 90° (видима „на ребро”) и с видима звездна величина 8.5. Те са измерили скоростта на въртене на галактиката, като функция на разстоянието от галактичния център. По резултатите от техните измервания е построена графиката, представена на Фигура 1.

Крива на въртене на галактиката, отпечатана завъртяна на 90°: по оста D (10³ l.y.) от 0 до 80 и по оста V (km/s) от 0 до 200, с пунктирна мрежа. Скоростта расте линейно от 0 до около 200 km/s при D ≈ 15, достига максимум около 230 km/s при D ≈ 25, спада до около 205 km/s при D ≈ 40 и после бавно намалява до около 195 km/s при D = 80. — FIGURE 1

2.1 Приближете и опишете по подходящ начин кривата на въртене на галактиката от Фигура 1 с непрекъсната функция V(D), състояща се от две отсечки.

2.2 Използвайки същите наблюдения, астрономите са оценили, че периодът на въртене на вълните на плътността в галактичния диск е равен на половината от периода на въртене на обектите от диска на галактиката, при обикалянето им около нейния център. Оценете времето, за което един спирален ръкав прави пълна обиколка около галактичния център (използвайте функцията получена в 2.1).

2.3 Пресметнете разстоянието до галактиката, използвайки съотношението на Тули – Фишер (вижте таблицата с константите).

2.4 Пресметнете максималната и минималната стойности на наблюдаваната дължина на вълната на линията, в спектъра на тази галактика, съответстваща на линията на водорода с лабораторна дължина на вълната 656.28 nm.

Забележка: Отчетете и разширението на Вселената.

2.5 Използвайки Фигура 1, оценете масата на тази част от галактиката, която е на разстояние по-малко от $3.10^4$ светлинни години от центъра на галактиката.

2.6 Оценете броя на звездите в галактиката, приемайки,че:

средната маса на звездите е равна на масата на Слънцето и една трета от барионната материя на галактиката е под формата на звезди;
отношението на барионната към тъмната материя в галактиката е същото каквото е това отношение за цялата Вселена (вижте таблицата с константите).

Решение

English-language solution and marking scheme from the separately cited archive file. Printed disagreements with the Bulgarian prompt are qualified below.

English archive solution

B — Long Question 2

The original question's Figure 1 is displayed below after a lossless quarter-turn; the plotted data and every axis label remain native.

Original question graph, rotated 90 degrees counterclockwise; distance D in 10³ l.y. and velocity V in km/s.

B.1 / 2.1. First line through $(0,0)$ and $(15,210)$ ; second through $(15,210)$ and $(60,200)$ , with distance in $10^3$ light-years and velocity in km/s:

V(D)=\begin{cases}14D,&0\leq D<15,\\213-0.22D,&15\leq D\leq60.\end{cases}

B.2 / 2.2. Using the preceding equations,

\omega(D)=\frac{V(D)}D=\begin{cases}14,&0\leq D<15,\\213/D-0.22,&15\leq D\leq60,\end{cases}\qquad\text{in }\frac{\mathrm{km/s}}{10^3\,\mathrm{ly}},\qquad\omega_{\rm wave}(D)=2\omega(D).

The time for a spiral arm to make one more turn about the galactic centre is given by

\omega_{\rm rel}=\omega_{\rm wave}^{\rm Max}-\omega_{\rm wave}^{\rm Min},

\omega_{\rm rel}=\frac12\left[\left(\frac{213}{15}-0.22\right)-\left(\frac{213}{80}-0.22\right)\right]=23.9\frac{\mathrm{km/s}}{10^3\,\mathrm{ly}},\qquad P_{\rm spin}=\frac{2\pi}{\omega_{\rm rel}}=8.15\cdot10^7\,\mathrm{years}.

Printed-source caveat: B.1 prints the interval endpoint 60; B.2 substitutes 80. The displayed factor $1/2$ , the value 23.9 and the period above are the literal key; their arithmetic inconsistency is retained rather than silently changed.

B.3 / 2.3. The Tully–Fisher relation estimates luminosity. With $\Delta V=2V_{\rm max}$ ,

L=16kV_{\rm max}^4.

Compare the galaxy's magnitude with the Sun:

m-M=5\log d-5\quad\Longrightarrow\quad m-\left(M_{\rm sun}-2.5\log\frac L{L_{\rm sun}}\right)=5\log d-5,

\log d=1+\frac{m-M_{\rm sun}+2.5\log(16kV_{\rm max}^4/L_{\rm sun})}{5}.

The graph gives $V_{\rm max}=230\,\mathrm{km/s}$ :

\log d=1+\frac{8.5-4.8+2.5\log(16\cdot0.317\cdot230^4)}5=6.816\quad\Longrightarrow\quad d=6.5\,\mathrm{Mpc}.

Source value: This key uses solar absolute magnitude 4.8; the separate constants sheet prints 4.72.

B.4 / 2.4. Hubble's law gives recession velocity $V_0=Hd$ . At the maximum and minimum radial velocities, $V=V_0\pm V_{\rm max}$ . Using $\Delta\lambda/\lambda=v/c$ ,

\lambda_{\rm max}=\lambda\left(1+\frac{Hd+V_{\rm max}}c\right),\qquad\lambda_{\rm min}=\lambda\left(1+\frac{Hd-V_{\rm max}}c\right).

For $\lambda=656.28\,\mathrm{nm}$ : $\lambda_{\rm max}=657.79\,\mathrm{nm}$ and $\lambda_{\rm min}=656.78\,\mathrm{nm}$ .

B.5 / 2.5. Assuming a spherically symmetric mass distribution and circular orbit,

\frac{V^2}D=\frac{GM_{\rm int}}{D^2}\quad\Longrightarrow\quad M_{\rm int}=\frac{V^2D}G.

The graph gives $V(3.0\cdot10^4\,\mathrm{ly})=225\,\mathrm{km/s}$ , hence $M_{\rm int}=2.15\cdot10^{41}\,\mathrm{kg}=1.08\cdot10^{11}M_{\rm sun}$ .

B.6 / 2.6. The mass comes from the rotation curve, so part is dark matter and only a part is in stars, $\rho_{\rm star}=1/3$ . The baryonic fraction is

\rho_{\rm matter}=\frac{f_{\rm baryon}}{f_{\rm matter}}=\frac4{22+4}=\frac4{26}.

The number of stars is

N=\rho_{\rm matter}\rho_{\rm star}\frac{M_{\rm galaxy}}{M_{\rm sun}}=\frac4{26}\frac13\,1.08\cdot10^{11}=5.5\cdot10^9\,\mathrm{stars}.

Marking: B.1, lines 4 pt (2 each; reasonable margin accepted). B.2, writing $\omega$ 1 pt; relative velocity 4 pt; answer 1 pt. B.3, Tully–Fisher with $V_{\rm max}$ 2 pt; comparison with the Sun 2 pt; answer using a reasonable $V_{\rm max}$ 2 pt. B.4, correct velocities 3 pt; Doppler law 2 pt. B.5, internal mass estimate 5 pt. B.6, dark matter correctly taken into account 2 pt; star count 2 pt.

Оригинал в Архива: Theoretical-bg.pdf · решение от архива: Theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: instructions-bg.doc · допълнителни данни: constants-bg.doc