Съдържание

IOAA 2012, Теория — Задача 16. Long Questions — 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2012

6th International Olympiad on Astronomy and Astrophysics — Theoretical Exam · 4 август 2012 г.

Внимание: Бележка към темата

Българските условия са запазени. Добавени са английски решения и критерии от отделен архивен файл, с обозначени разминавания между източниците. Инструкциите дават 10 точки за кратка и 30 точки за дълга задача. Архивното съхранение не установява официално издателско право.

Общи инструкции. Теоретичен и практически тур

Продължителността на всеки тур е 5 часа.
Напишете Вашия Student ID код (а не Вашето име!) на всяка страница за решения.
Всеки тур е индивидуален и използването на каквито и да било материали, които не са Ви предоставени от организаторите е забранено.
Таблица с константи и необходима информация за теоретичния тур ще бъде предоставена на всички ученици.
Калкулатори ще бъдат предоставени на всички участници, от организаторите. Само тези калкулатори могат да бъдат използвани по време на теоретичния и практическия тур.
Условията на задачите ще Ви бъдат дадени, разпечатани на хартия, а също ще разполагате и с една страница за всяка задача, на която да напишете решението си.
Максималният резултат за всяка къса теоретична задача е 10 точки, за всяка дълга е 30 точки.
Ще Ви бъде предоставена светло зелена хартия, която можете да използвате като чернова.
Крайното решение на всяка задача трябва да бъде написано на листа, предназначен за съответната задача. В случай, че имате нужда от още листи, уведомете квесторите и се уверете,че сте изписали Вашия код и номера на задачата на всеки допълнителен лист. Използвайте римски цифри.
Можете да записвате Вашите изчисления с молив, но крайните решения трябва да са изписани със син химикал. Сини химикали ще Ви бъдат предоставени от организаторите.
Номерирайте страниците, така че да има информация колко листа сте използвали. Ако например, до края на тура използвате 15 листа, то номерирайте ги така: 1/15, 2/15, 3/15 и т.н.

Константи и необходима информация

Величина	Стойност
Маса на Земята	$5.98\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$6.38\cdot10^6\,\mathrm m$
Земно ускорение	$9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$
Наклон на земната ос	$23^\circ27'$
Тропична година	365.2422 средни слънчеви дни
Сидерична година	365.2564 средни слънчеви дни
Албедо на Земята	0.39
Маса на Луната	$7.35\cdot10^{22}\,\mathrm{kg}$
Радиус на Луната	$1.74\cdot10^6\,\mathrm m$
Средно разстояние Земя–Луна	$3.84\cdot10^8\,\mathrm m$
Наклон на лунната орбита	$5.14^\circ$
Албедо на Луната	0.14
Видима величина на пълната Луна	$-12.74$
Маса на Слънцето	$1.99\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}$
Светимост на Слънцето	$3.83\cdot10^{26}\,\mathrm W$
Абсолютна величина на Слънцето	4.72
Ъглов диаметър на Слънцето	$0.5^\circ$
Маса на Юпитер	$1.89\cdot10^{27}\,\mathrm{kg}$
Диаметър на човешката зеница	$6\,\mathrm{mm}$
Височина на статуята на Христос	$39.60\,\mathrm m$
Височина на Айфеловата кула	$324\,\mathrm m$
Астрономическа единица	$1.50\cdot10^{11}\,\mathrm m$
Голяма полуос на Марс	$1.52\,\mathrm{AU}$
Голяма полуос на Юпитер	$5.20\,\mathrm{AU}$
Парсек	$206265\,\mathrm{AU}$
Разстояние до звездата на Барнард	$1.83\,\mathrm{pc}$
Гравитационна константа	$6.67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Константа на Планк	$6.62\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$1.38\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-2}}$
Константа на Стефан–Болцман	$5.67\cdot10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Константа на Хъбъл	$72\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$
Скорост на светлината	$299792458\,\mathrm{m\,s^{-1}}$
Маса на протона	$938.27\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$
Маса на деутерия	$1875.60\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$
Маса на неутрона	$939.56\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$
Маса на $\mathrm{He}^3$	$2808.30\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$
Маса на $\mathrm{He}^4$	$3727.40\,\mathrm{MeV\,c^{-2}}$

Печатна единица: За константата на Болцман оригиналната таблица показва $\mathrm{J\,K^{-2}}$ ; запазена е без физическа нормализация.

Допълнителна информация

За спиралните галактики зависимостта на Тъли–Фишер има вида $L=k(\Delta V)^4$ , където $\Delta V=V_2-V_1=2v_{\rm rot}^{\max}$ и $k=0.317\,L_\odot(\mathrm{km\,s^{-1}})^{-4}$ .

Съставът на Вселената в таблицата е: барионна материя 4%, тъмна материя 22%, тъмна енергия 74%.

Условие

Астроном, намиращ се на Земята, наблюдава кълбовиден звезден куп, който има ъглов диаметър α, съдържа N звезди, всяка от които има една и съща абсолютна звезда величина $M_0$ . Разстоянието от купа до Земята е D. Представете си, че един биолог се намира в центъра на кълбовидния звезден куп.

1.1 Каква е разликата между сумарната видима звездна величина на всички звезди от купа, наблюдавани от астронома и сумарната видима звездна величина на всички звезди от купа, наблюдавани от биолога. Приемете, че пространственото разпределение на звездите в купа е равномерно и, че биологът може да вижда цялото небе и да определя сумарната звездна величина на всички звезди от купа.

1.2 Телескоп с какъв диаметър трябва да използва астрономът, за да вижда през него звездния куп, с такава яркост, с каквато биологът вижда купа?

1.3 Каква би била разлика между видимите звездни величини, наблюдавани от двамата учени, ако зрителното поле на биолога е ограничено до кръг с ъглов диаметър, равен на α.

Решение

English-language solution and marking scheme from the separately cited archive file. Printed disagreements with the Bulgarian prompt are qualified below.

English archive solution

A — Long Question 1

Native English archive-key diagram, task 16

The figure gives $\tan\alpha\approx\alpha\approx\sin\alpha\approx2R/D$ .

A.1 / 1.1. The astronomer receives the flux of $N$ stars, each with absolute magnitude $M_0$ and luminosity $L_0$ , at distance $D$ :

F_A=\frac{NL_0}{4\pi D^2}.

The cluster is homogeneous, with constant density $\rho=N/((4/3)\pi R^3)$ . A spherical shell at radius $R'$ and thickness $\Delta R$ contributes

F_{\rm shell}(R',\Delta R)=\rho V_{\rm shell}\frac{L_0}{4\pi R'^2}=\frac N{(4/3)\pi R^3}\,4\pi R'^2\Delta R\frac{L_0}{4\pi R'^2}=\frac{3NL_0\Delta R}{4\pi R^3}.

It is independent of $R'$ . Divide the cluster into $n$ shells, with $R=n\Delta R$ :

F_B=nF_{\rm shell}=n\frac{3NL_0\Delta R}{4\pi R^3}=\frac{3NL_0}{4\pi R^2}.

Consequently

\Delta m=-2.5\log\frac{F_B}{F_A}=-2.5\log\left[3\left(\frac DR\right)^2\right]=2.5\log\frac{\alpha^2}{12}.

A.2 / 1.2. Received energy is proportional to objective area. With objective diameter $x$ and pupil diameter $d_{\rm pup}$ ,

F'_A=F_A\frac{\pi(x/2)^2}{\pi(d_{\rm pup}/2)^2}\quad\Longrightarrow\quad x=6\cdot10^{-3}\sqrt{\frac{F'_A}{F_A}}.

Setting $F'_A=F_B$ gives $F'_A/F_A=F_B/F_A=12/\alpha^2$ , so

x=6\cdot10^{-3}\sqrt{\frac{12}{\alpha^2}}=\frac{0.021}{\alpha}\,\mathrm m.

A.3 / 1.3. The biologist sees a fraction $\xi(d)=A(\alpha)/(4\pi d^2)$ of light coming from distance $d$ . $A(\alpha)$ is the area inside a cone of aperture $\alpha$ intersecting a sphere of radius $d$ whose centre is the cone vertex: a spherical cap of height $D$ .

\cos\frac\alpha2=\frac{d-D}{d},\qquad A(\alpha)=2\pi Dd=2\pi d^2\left(1-\cos\frac\alpha2\right),\qquad\xi=\sin^2\frac\alpha4.

The fraction is independent of $d$ , and $F'_B=\xi F_B$ . Thus

\Delta m'=m'_B-m_A=-2.5\log\frac{F'_B}{F_A}=-2.5\log\left[\frac{12\sin^2(\alpha/4)}{\alpha^2}\right].

Marking: A.1, flux A 4 pt; independence of $R'$ 5 pt; flux B 4 pt; answer 2 pt. A.2, diameter as a function of fluxes 3 pt; diameter calculation 3 pt. A.3, flux-fraction formulation 2 pt; calculation 4 pt; new magnitude 3 pt.

Оригинал в Архива: Theoretical-bg.pdf · решение от архива: Theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: instructions-bg.doc · допълнителни данни: constants-bg.doc