Съдържание

Условие Basic equations of spherical trigonometry — reference diagram Решение

IOAA 2015, Теория, дълги задачи, български — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2015

IOAA 2015 — ДЪЛГИ ЗАДАЧИ

Внимание: Бележка към темата

Официалните решения и критерии са запазени на английски. В българската задача 3 няма въпрос за разстоянието: части d/e съответстват на e/f от английския финал. В задача 1(c) българският текст определя височината на точката от орбитата, а английският финал — на горната допирателна към спътника; решението следва английската формулировка. По-ранните варианти са показани отделно и не заместват финалните условия.

Instruction — Theoretical Round

Write your answer on the answer-sheet only. You can use more than one sheet for one problem. Please ask the organizer for the additional answer-sheets.
Different problems should be done on different sheets.
You can use your own calculator without program and graphic facility.
You can ask the organizer for rough paper.

Astronomical and Physical Constants — 20150729

Constant	Value
Astronomical unit (AU)	$1.4960\times10^{11}\ \mathrm m$
Light year (ly)	$9.4605\times10^{15}\ \mathrm m=63\,240\ \mathrm{au}$
Parsec (pc)	$3.0860\times10^{16}\ \mathrm m=206\,265\ \mathrm{au}$
Jansky (Jy)	$10^{-26}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}}$
1 Sidereal year	365.2564 solar days
1 Tropical year	365.2422 solar days
1 Calendar year	365.2425 solar days
1 Sidereal day	$23^{\mathrm h}\ 56^{\mathrm m}\ 04^{\mathrm s}.091$
1 Solar day	$24^{\mathrm h}\ 03^{\mathrm m}\ 56^{\mathrm s}.555$ units of sidereal time
1 Å	$10^{-10}\ \mathrm m$
1 erg	$10^{-7}\ \mathrm J$
1 dyne	$10^{-5}\ \mathrm N$
Mass of Earth	$5.9736\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Mean radius of Earth	$6.371\times10^6\ \mathrm m$
Equatorial radius of Earth	$6.378\times10^6\ \mathrm m$
Mean velocity of Earth on its orbit	$29.783\ \mathrm{km\,s^{-1}}$
Mass of Moon	$7.3490\times10^{22}\ \mathrm{kg}$
Radius of Moon	$1.737\times10^6\ \mathrm m$
Mass of Jupiter	$1.89813\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Mean Earth – Moon distance	$3.844\times10^8\ \mathrm m$
Mass of Sun	$1.98892\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Radius of Sun	$6.96\times10^8\ \mathrm m$
Effective temperature of the Sun	5780 K
Luminosity of the Sun	$3.96\times10^{26}\ \mathrm{J\,s^{-1}}$
Solar constant	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Brightness of the Sun in V-band	−26.8 mag.
Absolute brightness of the Sun in V-band	4.75 mag.
Absolute bolometric brightness of Sun	4.72 mag.
Angular diameter of the Sun	30′
Speed of light in vacuum (c)	$2.9979\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Gravitational constant (G)	$6.6738\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Boltzmann constant (k)	$1.381\times10^{-23}\ \mathrm{m\,kg\,s^{-2}\,K^{-1}}$
Universal gas constant (R)	$8.31\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$
Stefan–Boltzmann constant (σ)	$5.6704\times10^{-8}\ \mathrm{kg\,s^{-3}\,K^{-4}}$
Planck constant (h)	$6.6261\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Wien's constant (b)	$2.8978\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Hubble constant (H₀)	$70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$

Astronomical and Physical Constants — continuation

Constant	Value
electron charge (e)	$1.602\times10^{-19}\ \mathrm C$
Mass of hydrogen atom	$1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Current inclination of the ecliptic (ε)	23º 26.3′
Coordinates of the northern ecliptic pole for epoch 2000.0 (αE, δE)	$18^{\mathrm h}\ 00^{\mathrm m}\ 00^{\mathrm s},+66^{\circ}\ 33.6^{\prime}$
Coordinates of the northern galactic pole for epoch 2000.0 (αG, δG)	$12^{\mathrm h}\ 51^{\mathrm m},+27^{\circ}\ 08^{\prime}$

You can try to solve an equation $x=f(x)$ using iteration: $x_{n+1}=f(x_n)$ .

Basic equations of spherical trigonometry

\sin a\sin B=\sin b\sin A

\sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A,

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.

Rayleigh-Jeans formula (long wavelength approximation of Planck’s Law):

B_\nu(T)=\frac{2kT\nu^2}{c^2}

Условие

Нека да разгледаме невъртяща се сферична звезда, която се състои от N електронеутрални частици и има радиус R (виж Фигура 3).

Сферична звезда с радиус R в сферична координатна система x-y-z, показани ъглите θ и φ. — Фигура 3

Където $0\leq\theta\leq\pi$ , $0\leq\phi\leq 2\pi$ .
Нека да предположим, че за звездата е валидно следното равенство:

PV=Nk\dfrac{T_R-T_0}{\ln(T_R/T_0)}\qquad(1)

където $P$ е налягането на газа в звездата, $V$ е обемът на звездата, а $k$ е константата на Болцман. $T_R$ е температурата на повърхността на звездата ( $r=R$ ), а $T_0$ е температурата в центъра ѝ ( $r=0$ ). Приемаме, че $T_R\leq T_0$ .

a. Опростете уравнението на състоянието (1) на звездата, ако приемете, че $\Delta T=T_R-T_0\approx 0$ (това се нарича идеална звезда). (Подсказка: използвайте приближението $\ln(1+x)\approx x$ за малки стойности на $x$ ).

Предполагаме, че звездата извършва квази-статичен процес, при който тя може слабо да се разшири или свие, като горното уравнение на състоянието (1) остава валидно.

За звездата е валиден първият закон на термодинамиката:

Q=\Delta M c^2+W\qquad(2)

където $Q$ , $M$ , и $W$ са обмененото количество топлина, масата на звездата и работата извършена от нея, $c$ е скоростта на светлината във вакуум и $\Delta M\equiv M_{\text{крайна}}-M_{\text{начална}}$ .

В следващите подусловия ще приемаме, че $T_0$ остава постоянна, докато $T_R\equiv T$ се променя.

b. Намерете топлинния капацитет на звездата при постоянен обем $C_v$ като функция на масата $M$ , а също и топлинния капацитет $C_p$ , изразен чрез $C_v$ и $T$ . (Подсказка: използвайте приближението $(1+x)^n\approx 1+nx$ за малки стойности на $x$ )

Приемете, че $C_v$ остава постоянен и газът извършва изобарен процес, като при това звездата произвежда някакво количество топлина и го излъчва в околното пространство.

c. Намерете количеството топлина, произведено при изобарния процес ако началната и крайната температура са съответно $T_i$ и $T_f$ .

В следващите подусловия приемете, че звездата е Слънцето.

d. Ако приемем, че Слънцето излъчва монохроматична светина с честота $5\times 10^{14}$ Hz, то оценете броя на фотоните, които то излъчва за една секунда.

e. Пресметнете топлинния капацитет capacity $C_v$ на Слънцето, ако приемете, че повърхностната му температура се променя от 5 500К до 6 000К за една секунда.

Basic equations of spherical trigonometry — reference diagram

Spherical triangle with vertices A,B,C and opposite sides a,b,c.

Решение

Revised marking scheme — a. (15 т.)

Defining $\Delta T=T_R-T_0$ and $\Delta T\approx0$ , we have

PV=Nk\frac{\Delta T}{\ln(1+\Delta T/T_0)}\qquad (3)

using $\ln(1+\Delta T/T_0)\approx\Delta T/T_0$ , we then obtain

PV=NkT_0\qquad (4)

Revised marking scheme — b. (30 т.)

The internal energy of the star is $U=Mc^2$ ( $U(T)=M(T)c^2$ for ideal star). Thus, the constant volume heat capacity of the star has the form

C_v=\left(\frac{\Delta Q}{\Delta T}\right)_V=\left(\frac{\Delta M}{\Delta T}\right)_Vc^2

for small $\Delta T$ . Then, using first law of thermodynamics, the constant pressure heat capacity of the star is

C_p=\left(\frac{\Delta Q}{\Delta T}\right)_P=\left(\frac{\Delta M}{\Delta T}\right)_Vc^2+P\frac{\Delta V}{\Delta T}=C_v+P\frac{\Delta V}{\Delta T}

for small $\Delta T$ . Defining $\Delta T=T_2-T_1$ , then

P\Delta V=Nk\left(\frac{T_1-T_0+\Delta T}{\ln((T_1+\Delta T)/T_0)}-\frac{T_1-T_0}{\ln(T_1/T_0)}\right)

Using the approximation

\ln((T_1+\Delta T)/T_0)\approx\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\right)+\frac{\Delta T}{T_1}

\left(1+\frac{\Delta T}{T_1\ln(T_1/T_0)}\right)^{-1}\approx1-\frac{\Delta T}{T_1\ln(T_1/T_0)}

then we have

P\frac{\Delta V}{\Delta T}=\frac{Nk}{\ln(T/T_0)}\left(1-\frac{(T-T_0)/T}{\ln(T/T_0)}\right)

where $T_1\equiv T$ . Finally, we obtain

C_p=\left(\frac{\Delta Q}{\Delta T}\right)_P=\left(\frac{\Delta M}{\Delta T}\right)_Vc^2+P\frac{\Delta V}{\Delta T}=C_v+\frac{Nk}{\ln(T/T_0)}\left(1-\frac{(T-T_0)/T}{\ln(T/T_0)}\right)

Revised marking scheme — c. (20 т.)

Since $C_v$ is constant, the heat produced by the star is given by

Q_H=C_v(T_f-T_i)+P\Delta V

=C_v(T_i-T_f)+Nk\left(\frac{T_f-T_0}{\ln(T_f/T_0)}-\frac{T_i-T_0}{\ln(T_i/T_0)}\right)

Revised marking scheme — Bulgarian d. (English e.) (10 т.)

Energy per second radiated by the Sun

L_\odot=Nh\nu

where $N$ is the number of photon. Thus

N=\frac{L_\odot}{h\nu}=\frac{3.96\times10^{26}}{6.6261\times10^{-34}\times5\times10^{14}}=1.195\times10^{45}\ \text{photons}

Revised marking scheme — Bulgarian e. (English f.) (10 т.)

Energy per second radiated by the Sun is proportional to mass defect of the Sun

L_\odot=\Delta Mc^2

Thus,

C_v=\frac{\Delta Mc^2}{\Delta T}=\frac{L_\odot}{\Delta T}=\frac{3.96\times10^{26}}{6000-5500}\ \mathrm{J/K}=7.92\times10^{23}\ \mathrm{J/K}

Earlier image edition — b. Isothermal work (15 т.)

Find the work of the star when it expands from $V_1$ to $V_2$ in isothermal process where $T_R$ and $T_0$ are constants.

If the gas undergoes isothermal process where $T_R$ and $T_0$ are constant, then the work has the form

W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV=Nk\frac{T_R-T_0}{\ln(T_R/T_0)}\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

Earlier image edition — e. Distance with 0.1% temperature error (15 т.)

Suppose there is an observer far away from the star. Related to point d., estimate the distance of the observer if the observer has 0.1% error in measuring the effective temperature around the star.

The error 0.1%, namely

\frac{T_f-T_{\mathrm{eff}}}{T_f}=\frac1{1000}

then $T_{\mathrm{eff}}=\frac{999}{1000}T_f$ . From Stefan law of black body radiation

\frac{Q_H}{4\pi r_0^2}=\sigma T_{\mathrm{eff}}^4=\sigma\left(\frac{999}{1000}\right)^4T_f^4

where $r_0$ is the observer's distance which is given by

r_0=\left(\frac{Q_H}{4\pi\sigma}\right)^{1/2}\left(\frac{1000}{999}\right)^2T_f^{-2}

Earlier image edition — marking weights

Part	Points
a.	10
b. Isothermal work	15
c. Heat capacities	25
d. Isobaric heat	20
e. Distance	15
f. Photons	7
g. Heat capacity	8

Earlier image edition — original page 7

Complete original earlier-edition key page 7 of 10, preserving draft questions, diagrams and marking weights.

Earlier image edition — original page 8

Complete original earlier-edition key page 8 of 10, preserving draft questions, diagrams and marking weights.

Earlier image edition — original page 9

Complete original earlier-edition key page 9 of 10, preserving draft questions, diagrams and marking weights.

Earlier image edition — original page 10

Complete original earlier-edition key page 10 of 10, preserving draft questions, diagrams and marking weights.

Оригинал в Архива: Long_problem_Final_BG.pdf · официални решения: Long Problem Solution-Marking Scheme [Revised] - 310715 - 13.58.pdf · допълнителни данни: long_sol_1.png · допълнителни данни: long_sol_2.png · допълнителни данни: long_sol_3.png · допълнителни данни: long_sol_4.png · допълнителни данни: long_sol_5.png · допълнителни данни: long_sol_6.png · допълнителни данни: long_sol_7.png · допълнителни данни: long_sol_8.png · допълнителни данни: long_sol_9.png · допълнителни данни: long_sol_10.png · допълнителни данни: 9th IOAA Constants Table 20150729.pdf · допълнителни данни: constants.pdf · допълнителни данни: instructions.docx