Съдържание

IOAA 2015, Теория, дълги задачи, български — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2015

IOAA 2015 — ДЪЛГИ ЗАДАЧИ

Внимание: Бележка към темата

Официалните решения и критерии са запазени на английски. В българската задача 3 няма въпрос за разстоянието: части d/e съответстват на e/f от английския финал. В задача 1(c) българският текст определя височината на точката от орбитата, а английският финал — на горната допирателна към спътника; решението следва английската формулировка. По-ранните варианти са показани отделно и не заместват финалните условия.

Instruction — Theoretical Round

Write your answer on the answer-sheet only. You can use more than one sheet for one problem. Please ask the organizer for the additional answer-sheets.
Different problems should be done on different sheets.
You can use your own calculator without program and graphic facility.
You can ask the organizer for rough paper.

Astronomical and Physical Constants — 20150729

Constant	Value
Astronomical unit (AU)	$1.4960\times10^{11}\ \mathrm m$
Light year (ly)	$9.4605\times10^{15}\ \mathrm m=63\,240\ \mathrm{au}$
Parsec (pc)	$3.0860\times10^{16}\ \mathrm m=206\,265\ \mathrm{au}$
Jansky (Jy)	$10^{-26}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}}$
1 Sidereal year	365.2564 solar days
1 Tropical year	365.2422 solar days
1 Calendar year	365.2425 solar days
1 Sidereal day	$23^{\mathrm h}\ 56^{\mathrm m}\ 04^{\mathrm s}.091$
1 Solar day	$24^{\mathrm h}\ 03^{\mathrm m}\ 56^{\mathrm s}.555$ units of sidereal time
1 Å	$10^{-10}\ \mathrm m$
1 erg	$10^{-7}\ \mathrm J$
1 dyne	$10^{-5}\ \mathrm N$
Mass of Earth	$5.9736\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Mean radius of Earth	$6.371\times10^6\ \mathrm m$
Equatorial radius of Earth	$6.378\times10^6\ \mathrm m$
Mean velocity of Earth on its orbit	$29.783\ \mathrm{km\,s^{-1}}$
Mass of Moon	$7.3490\times10^{22}\ \mathrm{kg}$
Radius of Moon	$1.737\times10^6\ \mathrm m$
Mass of Jupiter	$1.89813\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Mean Earth – Moon distance	$3.844\times10^8\ \mathrm m$
Mass of Sun	$1.98892\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Radius of Sun	$6.96\times10^8\ \mathrm m$
Effective temperature of the Sun	5780 K
Luminosity of the Sun	$3.96\times10^{26}\ \mathrm{J\,s^{-1}}$
Solar constant	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Brightness of the Sun in V-band	−26.8 mag.
Absolute brightness of the Sun in V-band	4.75 mag.
Absolute bolometric brightness of Sun	4.72 mag.
Angular diameter of the Sun	30′
Speed of light in vacuum (c)	$2.9979\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Gravitational constant (G)	$6.6738\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Boltzmann constant (k)	$1.381\times10^{-23}\ \mathrm{m\,kg\,s^{-2}\,K^{-1}}$
Universal gas constant (R)	$8.31\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$
Stefan–Boltzmann constant (σ)	$5.6704\times10^{-8}\ \mathrm{kg\,s^{-3}\,K^{-4}}$
Planck constant (h)	$6.6261\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Wien's constant (b)	$2.8978\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Hubble constant (H₀)	$70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$

Astronomical and Physical Constants — continuation

Constant	Value
electron charge (e)	$1.602\times10^{-19}\ \mathrm C$
Mass of hydrogen atom	$1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Current inclination of the ecliptic (ε)	23º 26.3′
Coordinates of the northern ecliptic pole for epoch 2000.0 (αE, δE)	$18^{\mathrm h}\ 00^{\mathrm m}\ 00^{\mathrm s},+66^{\circ}\ 33.6^{\prime}$
Coordinates of the northern galactic pole for epoch 2000.0 (αG, δG)	$12^{\mathrm h}\ 51^{\mathrm m},+27^{\circ}\ 08^{\prime}$

You can try to solve an equation $x=f(x)$ using iteration: $x_{n+1}=f(x_n)$ .

Basic equations of spherical trigonometry

\sin a\sin B=\sin b\sin A

\sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A,

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.

Rayleigh-Jeans formula (long wavelength approximation of Planck’s Law):

B_\nu(T)=\frac{2kT\nu^2}{c^2}

Условие

Две масивни звезди A и B с маси $m_A$ и $m_B$ , се намират на разстояние d една от друга. Те се движат около общия център на масите под действие на гравитационни сили. Приемете, че техните орбити са кръгови и лежат в равнината X-Y, като началото на координатната система е в центъра на масите. (виж Фигура 2).

Триизмерна координатна система X-Y-Z; двете звезди A и B по кръгови орбити около центъра на масите в равнината X-Y; наблюдател по посока, сключваща ъгъл θ с оста Z в равнината Y-Z. — Фигура 2

a. Изразете линейната и ъгловата скорост на звездата A.

Един наблюдател се намира в равнината Y-Z (виж Фигура 2) и наблюдава звездите от голямо разстояние под ъгъл $\theta$ спрямо оста Z. Той измерва, че скоростта на компонентата A по лъча на зрение (лъчевата скорост) се променя с времето по следния закон: $K\cos(\omega t+\varepsilon)$ , където $K$ и $\varepsilon$ са положителни.

b. Представете израза $K^3/\omega G$ като функция на $m_A$ , $m_B$ и $\theta$ ( $G$ е гравитационната константа).

Да предположим, че наблюдателят определя масата на звездата A и получава стойност 30 $M_S$ , където $M_S$ е масата на Слънцето. Освен това, той наблюдава рентгеново лъчение, излъчено от обекта B и благодарение на това той може да заключи, че тя е или неутронна звезда или черна дупка. Крайното заключение зависи от точната стойност на $m_B$ : 1) ако $m_B$ < 2 $M_S$ , то звездата B е неутронна звезда или 2) ако $m_B$ > 2 $M_S$ , то звездата B е черна дупка.

c. Според измерванията на наблюдателя $\frac{K^3}{\omega G}=\frac{1}{250}M_S$ . Всъщност, стойността на $\theta$ обикновено е неизвестна. Какво условие трябва да изпълнява този ъгъл, за да бъде обектът B черна дупка?

Решение

Revised marking scheme — a. (30 т.)

The center of gravity of the stars is relatively to the star A given by

r_A=\frac{m_B}{m_A+m_B}d

and since the orbit of A is a circle, then

F_{AX}=\frac{Gm_Am_B}{d^2}=\frac{m_Av_A^2}{r_A}

So, we get

v_A=m_B\sqrt{\frac{G}{(m_A+m_B)d}}

The angular velocity of A is given by

\omega=\frac{v_A}{r_A}=\sqrt{\frac{G(m_A+m_B)}{d^3}}

Revised marking scheme — b. (30 т.)

In Cartesian coordinate system, the velocity of A is

\vec v_A(t)=v_A(-\sin(\omega t+\varepsilon)\hat\imath+\cos(\omega t+\varepsilon)\hat\jmath)

Unit vector of the observer is

\hat r_P=\cos\theta\,\hat k+\sin\theta\,\hat\jmath

so the component of $\vec v_A$ in the line of the observer sight is given by

\vec v_A\cdot\hat r_P=v_A\sin\theta\cos(\omega t+\varepsilon)

Since the component of $\vec v_A$ in the line of the observer sight is $K\cos(\omega t+\varepsilon)$ , then

K=v_A\sin\theta

Finally, we have

\frac{K^3}{\omega G}=\frac{m_B^3}{(m_A+m_B)^2}\sin^3\theta\qquad (**)

Revised marking scheme — c. (40 т.)

From the result in b., namely eq. (**), we get

\sin^3\theta=\frac{K^3}{\omega G}\frac{(m_A+m_B)^2}{m_B^3}<\frac1{250}\frac{32^2}{8}=\frac{64}{125}

Since $\theta\in[0,\pi]$ , then $\sin\theta<0,8$ . Thus, the probability of B is a black hole is the same as the probability of $\sin\theta<0,8$ for $\theta\in[0,\pi]$ . So $\theta$ is less than $53^\circ$ or greater than $127^\circ$ .

Earlier image edition — probability question

A measurement has been done by the observer which results $\frac{K^3}{\omega G}=\frac1{250}M_S$ . If the value of $\cos\theta$ has the same probability, then calculate the probability of B to be a black hole. (Hint: Use $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ )

Since $\theta\in[0,\pi]$ , then $\sin\theta<0,8$ . Thus, the probability of B is a black hole is the same as the probability of $\sin\theta<0,8$ for $\theta\in[0,\pi]$ . Since $\sin^{-1}0,8=53^\circ$ or $127^\circ$ , then

P(\text{B:Black Hole})=1-\frac{\int_{53^\circ}^{127^\circ}\sin\theta\,d\theta}{\int_{0^\circ}^{180^\circ}\sin\theta\,d\theta}=1-0,6=0,4

Earlier image edition — original page 4

Complete original earlier-edition key page 4 of 10, preserving draft questions, diagrams and marking weights.

Earlier image edition — original page 5

Complete original earlier-edition key page 5 of 10, preserving draft questions, diagrams and marking weights.

Earlier image edition — original page 6

Complete original earlier-edition key page 6 of 10, preserving draft questions, diagrams and marking weights.

Оригинал в Архива: Long_problem_Final_BG.pdf · официални решения: Long Problem Solution-Marking Scheme [Revised] - 310715 - 13.58.pdf · допълнителни данни: long_sol_1.png · допълнителни данни: long_sol_2.png · допълнителни данни: long_sol_3.png · допълнителни данни: long_sol_4.png · допълнителни данни: long_sol_5.png · допълнителни данни: long_sol_6.png · допълнителни данни: long_sol_7.png · допълнителни данни: long_sol_8.png · допълнителни данни: long_sol_9.png · допълнителни данни: long_sol_10.png · допълнителни данни: 9th IOAA Constants Table 20150729.pdf · допълнителни данни: constants.pdf · допълнителни данни: instructions.docx