Съдържание

IOAA 2015, Теория, кратки задачи, български — Задача 13

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2015

КЪСИ ЗАДАЧИ

Внимание: Бележка към темата

Официалното решение на задача 12 е за кинетична енергия 1 GeV, докато българското условие задава пълна енергия 1 GeV. Решението е запазено с това изрично несъответствие.

Условие

Вулканичната активност на Йо, чийто период на въртене около оста е синхронизиран с орбиталния му период, се смята, че се дължи на нагряване, вследствие на приливното въздействие, главно от страна на Юпитер. Приливната сила, действаща на една планета е разликата между гравитационната сила върху близката и далечната страна на планетата, от страна на друга планета. Измерването на деформацията на повърхността на Йо от радарен висотомер, разположен на спътник, показва, че повърхността на Йо повдига и спада до около 100m в продължение на половин орбитален период. Само повърхностният слой на Йо се деформира толкова много, а преместването на вътрешните слоеве е по-малко. Затова ние приемаме, че средно цялата маса на Йо се премества на 50m. Приемете, че Йо се състои от две полусфери, всяка от които може да се разглежда като материална точка. Пресметнете средната мощност която се изразходва за нагряването Йо, вследствие на приливното въздействие на Юпитер.

Подсказка: Може да използвате следното приближение $(1+x)^n\approx1+nx$ за малки стойности на $x$ .

Масата на Йо е $m_{Io}=8.931938\times10^{22}\,kg$ .

Разстоянието между Юпитер и Йо в перийовий е $r_{peri}=420000\,km$

Разстоянието между Юпитер и Йо в апойовий е $r_{apo}=423400\,km$ .

Орбиталният период на Йо е 152853 s.

Радиусът на Йо е $R_{Io}=1821.6\,km$ .

Решение

Answer and Marking Scheme

1 Calculate the tidal force

The tidal force (assuming the point mass of hemisphere is located at $R_{Io}/2$ ):

F_{tidal}=F(r-R_{Io})-F(r+R_{Io})

=-\frac{GM_J\frac{m_{Io}}2}{(r-\frac{R_{Io}}2)^2}+\frac{GM_J\frac{m_{Io}}2}{(r+\frac{R_{Io}}2)^2}=-GM_J\frac{m_{Io}}2\left[\frac1{(r-\frac{R_{Io}}2)^2}-\frac1{(r+\frac{R_{Io}}2)^2}\right]

=-\frac{GM_J\frac{m_{Io}}2}{r^2}\left[\frac{\frac{2R_{Io}}r}{1-(\frac{R_{Io}}r)^2}\right]

[40]

The term $\left(\frac{R_{Io}}r\right)^2$ is too small and it can be ignored , so that

F_{tidal}=-\frac{GM_Jm_{Io}R_{Io}}{r^3}

[10]

2 Calculate the difference of the tidal force

The difference in the tidal force experienced at perijove (closest to Jupiter) and apojove (furthest from Jupiter)

\Delta F=\left|F_{tidal}(r_{peri})-F_{tidal}(r_{apo})\right|

[15]

= GM_Jm_{Io}R_{Io}\left[\frac1{r_{peri}^3}-\frac1{r_{apo}^3}\right]=6.65\times10^{18}\ N

[15]

3 Calculate the average power of work done

Hence, the average power of the work done on the rock during one-half orbit is

\overline P=\frac{\Delta F\ d}{t_{Io}/2}

[10]

\overline P=4.35\times10^{15}W

[10]

Alternate solution

If assume the mass of the hemisphere is located at the center of mass of a solid hemisphere, $3R_{Io}/8$ , then

1 Calculate the tidal force

The tidal force (assuming the point mass of hemisphere is located at $3R_{Io}/8$ ):

F_{tidal}=F(r-R_{Io})-F(r+R_{Io})

=-\frac{GM_J\frac{m_{Io}}2}{(r-\frac{3R_{Io}}8)^2}+\frac{GM_J\frac{m_{Io}}2}{(r+\frac{3R_{Io}}8)^2}=-GM_J\frac{m_{Io}}2\left[\frac1{(r-\frac{3R_{Io}}8)^2}-\frac1{(r+\frac{3R_{Io}}8)^2}\right]

=-\frac{GM_J\frac{m_{Io}}2}{r^2}\left[\frac{\frac{3R_{Io}}{2r}}{1-(\frac{6R_{Io}}{8r})^2}\right]

[40]

The term $\left(\frac{R_{Io}}r\right)^2$ is too small and it can be ignored , so that

F_{tidal}=-\frac{3GM_Jm_{Io}R_{Io}}{4r^3}

[10]

2 Calculate the difference of the tidal force

The difference in the tidal force experienced at perijove (closest to Jupiter) and apojove (furthest from Jupiter)

\Delta F=\left|F_{tidal}(r_{peri})-F_{tidal}(r_{apo})\right|

[15]

=\frac34 GM_Jm_{Io}R_{Io}\left[\frac1{r_{peri}^3}-\frac1{r_{apo}^3}\right]=4.97\times10^{18}\ N

[15]

3 Calculate the average power of work done

Hence, the average power of the work done on the rock during one-half orbit is

\overline P=\frac{\Delta F\ d}{t_{Io}/2}

[10]

\overline P=3.25\times10^{15}W

[10]

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Слънчева система · Небесна механика · Приливи и отливи · Гравитационни системи · Орбитално движение

Оригинал в Архива: Short_problem_Final_BG.pdf · официални решения: Short Problem Solution-Marking Scheme 30.07.pdf · допълнителни данни: Short_Problem_Solution.docx