Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие (D2.1) (3 т.)(D2.2) (4 т.)(D2.3) (4 т.)(D2.4) (8 т.)(D2.5) (9 т.)(D2.6) (5 т.)(D2.7) (3 т.)(D2.8) (4 т.)(D2.9) (10 т.)Решение

IOAA 2016, Анализ на данни — Задача 2. Разстояние до Луната

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Анализ на данни · 50 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на тура е пет часа.

(2) Практическият тур се състои от: Задачи от 1 до 3 - 50 точки всяка - 50 x 3 = 150 точки Общо = 150 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив. Графиките задължително трябва да бъдат начертани с молив!

(5) Няма да се отнемат точки за липсващо или грешно решение.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Всяка графика трябва да бъде номерирана, съгласно инструкциите в съответната задача.

f. Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

g. Моля, пишете само в очертаното поле!

h. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

В таблицата са дадени геоцентричните ефемериди на Луната за месец Септември 2015г. Данните във всеки ред се отнасят за момента 0:00 UT на съответната дата.

Дата	R.A. (α), h m s	Dec. (δ), ° ′ ″	Ъглов размер (θ), ″	Фаза (ϕ)	Елонгация На Луната
Септ. 01	0 36 46.02	3 6 16.8	1991.2	0.927	148.6° W
Септ. 02	1 33 51.34	7 32 26.1	1974.0	0.852	134.7° W
Септ. 03	2 30 45.03	11 25 31.1	1950.7	0.759	121.1° W
Септ. 04	3 27 28.48	14 32 4.3	1923.9	0.655	107.9° W
Септ. 05	4 23 52.28	16 43 18.2	1896.3	0.546	95.2° W
Септ. 06	5 19 37.25	17 55 4.4	1869.8	0.438	82.8° W
Септ. 07	6 14 19.23	18 7 26.6	1845.5	0.336	70.7° W
Септ. 08	7 7 35.58	17 23 55.6	1824.3	0.243	59.0° W
Септ. 09	7 59 11.04	15 50 33.0	1806.5	0.163	47.5° W
Септ. 10	8 49 0.93	13 34 55.6	1792.0	0.097	36.2° W
Септ. 11	9 37 11.42	10 45 27.7	1780.6	0.047	25.1° W
Септ. 12	10 23 57.77	7 30 47.7	1772.2	0.015	14.1° W
Септ. 13	11 9 41.86	3 59 28.8	1766.5	0.001	3.3° W
Септ. 14	11 54 49.80	0 19 50.2	1763.7	0.005	7.8° E
Септ. 15	12 39 50.01	-3 20 3.7	1763.8	0.026	18.6° E
Септ. 16	13 25 11.64	-6 52 18.8	1767.0	0.065	29.5° E
Септ. 17	14 11 23.13	-10 9 4.4	1773.8	0.120	40.4° E
Септ. 18	14 58 50.47	-13 2 24.7	1784.6	0.189	51.4° E
Септ. 19	15 47 54.94	-15 24 14.6	1799.6	0.270	62.5° E
Септ. 20	16 38 50.31	-17 6 22.8	1819.1	0.363	73.9° E
Септ. 21	17 31 40.04	-18 0 52.3	1843.0	0.463	85.6° E
Септ. 22	18 26 15.63	-18 0 41.7	1870.6	0.567	97.6° E
Септ. 23	19 22 17.51	-17 0 50.6	1900.9	0.672	110.0° E
Септ. 24	20 19 19.45	-14 59 38.0	1931.9	0.772	122.8° E
Септ. 25	21 16 55.43	-11 59 59.6	1961.1	0.861	136.2° E
Септ. 26	22 14 46.33	-8 10 18.3	1985.5	0.933	150.0° E
Септ. 27	23 12 43.63	-3 44 28.7	2002.0	0.981	164.0° E
Септ. 28	0 10 48.32	0 58 58.2	2008.3	1.000	178.3° E
Септ. 29	1 9 5.89	5 38 54.3	2003.6	0.988	167.4° W
Септ. 30	2 7 39.02	9 54 16.1	1988.4	0.947	153.2° W

На изображението по-долу е показано съставно изображение, получено от поредица снимки на Луната, заснети в различни моменти, по време на пълното лунното затъмнение, което се е наблюдавало през месец Септември 2015г. Центърът на всяка една индивидуална снимка е съвпадала с централната линия на земната сянка, ориентирана в посоките север-юг, след което изображенията са били насложени едно върху друго.

В тази задача приемаме, че наблюдателят се намира в центъра на Земята. Под ъглов размер се подразбира ъгълът под който се вижда диаметърът на Луната и диаметърът на земната сянка.

Съставна черно-бяла снимка на Луната по време на лунното затъмнение: седем изображения на лунния диск в редица на черен фон, частично закрити от земната сянка, с надписи на моментите отляво надясно 04:50, 04:00, 03:23, 02:47, 02:15, 01:40, 00:45.

(D2.1) (3 т.)

В момента на апогей, Луната е била най-близо до фаза:

Новолуние / Първа четвърт / Пълнолуние / Последна четвърт.

New Moon / First Quarter / Full Moon / Third Quarter

Отбележете Вашия избор в бланката за отговори (Summary Answersheet). Не е нужно да обосновете Вашия отговор.

(D2.2) (4 т.)

Когато през месец септември 2015г., Луната преминава през възходящия възел (относно еклиптиката) на своята орбита, нейната фаза е била най-близо до:

Новолуние / Първа четвърт / Пълнолуние / Последна четвърт.

New Moon / First Quarter / Full Moon / Third Quarter

Отбележете Вашия избор в бланката за отговори (Summary Answersheet). Не е нужно да обосновете Вашия отговор.

(D2.3) (4 т.)

Оценете ексцентрицитета, $e$ , на лунната орбита, използвайки данните от таблицата.

(D2.4) (8 т.)

Оценете колко пъти видимия ъглов размер на сянката на Земята (на разстоянието до Луната), $\theta_{\mathrm{umbra}}$ , е по-голям от видимия ъглов размер на Луната, $\theta_{\mathrm{Moon}}$ . Извършете Вашите графични построения върху изображенията на Луната и изображението на земната сянка, дадени на втората страница на бланката за отговори (Summary Answersheet).

(D2.5) (9 т.)

Видимият ъглов диаметър на Слънцето, спрямо земен наблюдател, по време на лунното затъмнение е бил $\theta_{\mathrm{Sun}} = 1915.0''$ . На фигурата по-долу $S_1R_1$ и $S_2R_2$ са лъчи, които идват от две диаметрално противоположни точки на слънчевия диск. На фигурата не е спазен мащабът.

Пресметнете колко пъти видимия ъглов размер, $\theta_{\mathrm{penumbra}}$ , на полусянката е по-голям от видимия размер на Луната, $\theta_{\mathrm{Moon}}$ . Приемете, че наблюдателят се намира в центъра на Земята.

Схема (не в мащаб): окръжност Earth, отляво малка окръжност Moon; два лъча S1R1 и S2R2 идват отдясно от точките S1 и S2, пресичат се в точка над Земята и продължават наляво към R1 и R2; ъгълът между тях е означен θSun.

(D2.6) (5 т.)

Нека с $\theta_{\mathrm{Earth}}$ да означим видимия ъглов размер на Земята за наблюдател, който се намира в центъра на Луната. Намерете каква част от $\theta_{\mathrm{Earth}}$ е видимият ъглов размер на Луната, $\theta_{\mathrm{Moon}}$ , гледана от центъра на Земята, по време на затъмнението.

(D2.7) (3 т.)

Оценете радиуса на Луната, $R_{\mathrm{Moon}}$ , в $\mathrm{km}$ , използвайки резултата, който получихте по-горе.

(D2.8) (4 т.)

Оценете минималното разстояние, $r_{\mathrm{perigee}}$ , и максималното разстояние, $r_{\mathrm{apogee}}$ , до Луната.

(D2.9) (10 т.)

Използвайте подходящите данни от таблицата и намерете разстоянието, $d_{\mathrm{Sun}}$ , между Земята и Слънцето на 10-ти Септември.

Решение

Distance to the Moon

The same composite photograph of the Moon during the total lunar eclipse as in the problem, labelled right to left 12:45, 1:40, 2:15, 2:47, 3:23, 4:00 and 4:50. — Credit: NASA’s Scientific Visualization Studio

D2.1

From the table we see that the angular size of Moon is smallest close to the New Moon day. Thus, the answer is $\boxed{\text{New Moon}}$ . [3.0]

Justification is NOT necessary for full credit.

D2.2

As there is an eclipse happening in this month, the lunar nodes are close to Full Moon day and New Moon day. Next we notice that lowest declination of Moon is just 18°. This means that after the New Moon day, the orbit of Moon is above the ecliptic. In other words, the ascending node is near the $\boxed{\text{New Moon}}$ . [4.0]

Justification is NOT necessary for full credit.

D2.3

The largest angular size of the Moon in the ephemerides is $2008.3''$ and the smallest angular size is $1763.7''$ . The distance is inversely proportional to the angular size. Hence ratio of distance at perigee to the distance at apogee is:

\text{Ratio} = \frac{r_{\mathrm{perigee}}}{r_{\mathrm{apogee}}} = \frac{\cancel{a_0}}{1+e} \times \frac{1-e}{\cancel{a_0}}

[2.0]

\therefore \frac{1-e}{1+e} = \frac{1763.7}{2008.3} = 0.87821

\therefore e = \frac{1 - 0.87821}{1 + 0.87821} = 0.064846

\boxed{e \simeq 0.065}

[2.0]

Rounding off is done to account for the fact that our data are not continuous, hence exact angular sizes at perigee and apogee are not known.

A non-rounded answer will also receive full credit.

D2.4

The following construction is shown. [5.0]

Only two chords are necessary to determine the centre.

The credit is divided in two parts for the drawing:

Realisation that centre of umbra circle needs to be determined to find $\theta_{\mathrm{umbra}}$ : 1.5
Accurate determination of centre of umbra circle by geometric construction: 2.5 Determination of centre of hand-drawn circle: maximum 1.5
Measuring diameters of umbra and Moon: 0.5 each

By estimating approximate centre of the shadow in the image, we find out,

\frac{\theta_{\mathrm{umbra}}}{\theta_{\mathrm{Moon}}} = \frac{d_{\mathrm{umbra}}}{d_{\mathrm{Moon}}} = \frac{9.1}{3.3} = 2.76

[2.0]

\therefore \boxed{\theta_{\mathrm{umbra}} \simeq 2.76\theta_{\mathrm{Moon}}}

[1.0]

Acceptable range: $\pm 0.10$ .

Construction on the eclipse image: the umbra edge through points A, B, C, D on the eclipsed Moon images, perpendicular bisectors of chords meeting at the centre O, the umbra circle drawn; notes D_moon = 3.3 cm and D_umbra = 9.1 cm.

D2.5

The following diagram needs to be drawn.

Angular size of umbra is $\theta_{\mathrm{umbra}} = 2\angle BOQ$

Angular size of penumbra is $\theta_{\mathrm{penumbra}} = 2\angle AOQ$

We have

\begin{aligned} QA &= QP + PA \\ &= OE + PE\tan\theta_1 \\ &\approx R_{\oplus} + d_{\mathrm{Moon}}\theta_1 && \text{since } PA \ll PE \\ &\approx R_{\oplus} + d_{\mathrm{Moon}}\frac{\theta_{\mathrm{Sun}}}{2} && \text{since } \theta_1 \approx \theta_2 \approx \theta_{\mathrm{Sun}}/2 \end{aligned}

[2.0]

and

\begin{aligned} QB &= QP - PB \\ &= OE - PE\tan\theta_2 \\ &\approx R_{\oplus} - d_{\mathrm{Moon}}\theta_2 \\ &\approx R_{\oplus} - d_{\mathrm{Moon}}\frac{\theta_{\mathrm{Sun}}}{2} \end{aligned}

[2.0]

\therefore \theta_{\mathrm{penumbra}} = 2\angle AOQ = 2\tan^{-1}\left(\frac{QA}{OQ}\right) \approx 2\frac{QA}{OQ} \qquad \text{since } QA \ll OQ

= 2\frac{R_{\oplus} + d_{\mathrm{Moon}}\frac{\theta_{\mathrm{Sun}}}{2}}{d_{\mathrm{Moon}}} = \frac{2R_{\oplus}}{d_{\mathrm{Moon}}} + \theta_{\mathrm{Sun}}

[1.0]

and

\theta_{\mathrm{umbra}} = 2\angle BOQ = 2\tan^{-1}\left(\frac{QB}{OQ}\right) \approx 2\frac{QB}{OQ}

= 2\frac{R_{\oplus} - d_{\mathrm{Moon}}\frac{\theta_{\mathrm{Sun}}}{2}}{d_{\mathrm{Moon}}} = \frac{2R_{\oplus}}{d_{\mathrm{Moon}}} - \theta_{\mathrm{Sun}}

[1.0]

Subtracting,

\theta_{\mathrm{penumbra}} - \theta_{\mathrm{umbra}} = 2\theta_{\mathrm{Sun}} \Rightarrow \theta_{\mathrm{penumbra}} = \theta_{\mathrm{umbra}} + 2\theta_{\mathrm{Sun}}

[1.0]

We have,

\theta_{\mathrm{umbra}} = 2.76\theta_{\mathrm{Moon}} \qquad \text{and } \theta_{\mathrm{Sun}} = 1915.0''

From the given data, $\theta_{\mathrm{Moon}} = 2008.3''$ . [1.0]

Therefore,

\theta_{\mathrm{penumbra}} = 2.76\theta_{\mathrm{Moon}} + 2\frac{1915.0}{2008.3}\theta_{\mathrm{Moon}}

\boxed{\theta_{\mathrm{penumbra}} = 4.67\theta_{\mathrm{Moon}}}

[1.0]

Acceptable range: $4.57\theta_{\mathrm{Moon}}$ to $4.77\theta_{\mathrm{Moon}}$ .

The (D2.5) diagram repeated: rays S1R1 and S2R2 from opposite edges of the Sun crossing at the top of the Earth at angle θSun; a small circle labelled Moon on the left.

Diagram of Earth (centre O, radius R⊕) with rays S1 and S2 from opposite edges of the Sun touching the Earth at E; points A, P, B, Q on the dashed vertical line labelled Moon’s path; angles θ1, θ2 and θSun; J the apex of the umbra cone on the axis JQO.

Alternative solution:

In the figure below, rays $HEA$ and $IFC$ are coming from one edge of solar disk and rays $HFD$ and $GEB$ are coming from the opposite edge. The observer ( $O$ ) is assumed to be at the centre of the Earth. The Moon travels along the path $ABCD$ during the course of eclipse.

From figure,

\angle AEB = \angle GEH = \angle HFI = \angle DFC = \angle EJF = \theta_{\mathrm{Sun}}

[3.0]

\theta_{\mathrm{umbra}} = \angle BOC = 2.76\theta_{\mathrm{Moon}}

[1.0]

\theta_{\mathrm{penumbra}} = \angle AOD

[1.0]

\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD

\angle AOB = \angle AEB

[1.0]

\angle COD = \angle CFD

[1.0]

\theta_{\mathrm{penumbra}} \simeq \angle AEB + \theta_{\mathrm{umbra}} + \angle CFD = 2\theta_{\mathrm{Sun}} + 2.76\theta_{\mathrm{Moon}} = 2 \times 1915.0'' + 2.76 \times 2008.3''

\boxed{\theta_{\mathrm{penumbra}} = 9372.9'' = 4.67\theta_{\mathrm{Moon}}}

[2.0]

Diagram of Earth (centre O) touched at E and F by rays from points G, H, I of the solar disk; rays cross the dashed Moon’s path at A, B, C, D; angles θSun at E, F and at the umbra apex J.

Enlarged diagram: Earth centred at O with tangent points E and F, the dashed Moon’s path with points A, B, C, D, apex J with angle θSun, and dashed lines from A, B, C, D to O.

D2.6

From the Moon,

\theta_{\mathrm{Earth}} = \frac{2R_{\oplus}}{d_{\mathrm{Moon}}}

[1.0]

From part (D2.5),

\theta_{\mathrm{umbra}} + \theta_{\mathrm{penumbra}} = 2\theta_{\mathrm{Earth}}

[2.0]

\therefore \theta_{\mathrm{Earth}} = \frac{\theta_{\mathrm{umbra}} + \theta_{\mathrm{penumbra}}}{2} = \frac{2.76 + 4.67}{2}\theta_{\mathrm{Moon}} = 3.72\theta_{\mathrm{Moon}}

\boxed{\theta_{\mathrm{Moon}} = = 0.269\theta_{\mathrm{Earth}}}

[2.0]

Alternative solution:

Let us say that the Moon is at position of $B$ . Thus, angular size of Earth as seen from this position will be, (see figure in the previous part)

\theta_{\mathrm{Earth}} = \angle EBF = \angle BFD

[2.0]

= \angle BFC + \angle CFD \simeq \theta_{\mathrm{umbra}} + \theta_{\mathrm{Sun}}

[1.0]

The angular size of the Full Moon on 28 September as seen in the table is $2008.3''$ .

\theta_{\mathrm{Earth}} = 2.76 \times 2008.3'' + 1915.0'' = 7453.0''

\boxed{\theta_{\mathrm{Moon}} = 0.269\theta_{\mathrm{Earth}} = \frac{\theta_{\mathrm{Earth}}}{3.72}}

[2.0]

D2.7

Thus, the radius of Moon will be,

R_{\mathrm{Moon}} = \frac{R_{\oplus}}{3.72}

R_{\mathrm{Moon}} = \frac{6371}{3.72}

[1.0]

\boxed{R_{\mathrm{Moon}} \simeq 1713\ \mathrm{km}}

[2.0]

Acceptable range: $\pm 20\ \mathrm{km}$ .

D2.8

The shortest and longest distances will be,

r_{\mathrm{perigee}} = \frac{2 \times 1713 \times 206265}{2008.3}

\boxed{r_{\mathrm{perigee}} = 3.52 \times 10^5\ \mathrm{km}}

[2.0]

r_{\mathrm{apogee}} = \frac{2 \times 1713 \times 206265}{1763.7}

\boxed{r_{\mathrm{apogee}} = 4.01 \times 10^5\ \mathrm{km}}

[2.0]

D2.9

On September 10, phase of Moon is 0.097 and elongation of Moon is 36.2°. Angular size of the Moon on this day is $1792.0''$ . Therefore, distance to Moon (from Earth) on September 10 is

d_{\mathrm{Moon,10}} = \frac{2 \times 1713 \times 206265}{1792.0} = 3.94 \times 10^5\ \mathrm{km}

[2.0]

\text{Let } \angle EMS = \phi_M, \quad \angle ESM = \phi_S, \quad \angle SEM = \phi_E

\therefore \phi_E = 36.2^{\circ}

[1.0]

\text{phase} = \frac{1 + \cos\phi_M}{2}

[2.0]

\therefore \phi_M = \cos^{-1}(2 \times \text{ phase } - 1) = \cos^{-1}(2 \times 0.097 - 1) = \cos^{-1}(-0.806) = 143.71^{\circ}

[2.0]

\phi_S = 180^{\circ} - \phi_E - \phi_M = 180^{\circ} - 36.2^{\circ} - 143.71^{\circ} = 0.09^{\circ}

[1.0]

Now using sine rule,

\frac{d_{\mathrm{Sun}}}{d_{\mathrm{Moon,10}}} = \frac{\sin\phi_M}{\sin\phi_S}

[2.0]

\therefore d_{\mathrm{Sun}} = \frac{3.94 \times 10^8 \times \sin 143.71^{\circ}}{\sin 0.09^{\circ}}

\boxed{d_{\mathrm{Sun}} = 1.48 \times 10^{11}\ \mathrm{m}}

[1.0]

Triangle Sun S – Moon M – Earth E with angles φS at S, φM at M and φE at E; the dotted circle around the Earth is labelled Moon’s orbit.

Оригинал в Архива: data_analysis_bg.pdf · официални решения: data_analysis_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_data_analysis_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: data_analysis.pdf · допълнителни данни: Data-analysis-qp.pdf