Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие Решение

IOAA 2016, Анализ на данни — Задача 3. Свръхнови от тип Ia

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Анализ на данни · 50 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на тура е пет часа.

(2) Практическият тур се състои от: Задачи от 1 до 3 - 50 точки всяка - 50 x 3 = 150 точки Общо = 150 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив. Графиките задължително трябва да бъдат начертани с молив!

(5) Няма да се отнемат точки за липсващо или грешно решение.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Всяка графика трябва да бъде номерирана, съгласно инструкциите в съответната задача.

f. Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

g. Моля, пишете само в очертаното поле!

h. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

Свръхновите от тип Ia играят важна роля за измерването на големи извънгалактични разстояния. Те имат много характерна крива на блясъка и поради това е лесно да се определи дали една свръхнова принадлежи към този тип.

Кривите на блясъка на всички свръхнови от тип Ia са изключително подобри една на друга, но само когато блясъкът е представен като функция на времето по подходящ начин. За да се направи това, първо трябва една крива на блясъка да се представи в отправна система, неподвижно свързана с галактиката, в която свръхновата избухва, т.е. да се отчете космологичното удължаване на времевите интервали. Вследствие от него, всеки един наблюдаван времеви интервал $\Delta t_{\mathrm{obs}}$ , е $(1 + z)$ пъти по-продължителен отколкото е в отправната система, неподвижно свързана с галактиката (z е червеното преместване на галактиката). В тази отправна система, продължителността на интервала е $\Delta t_{\mathrm{gal}}$ .

Нека в отправна система, свързана със свръхнова, тя намалява своя блясък с две звездни величини за интервал от време $\Delta t_0$ след максимума. За различните свръхнови от тип Ia този интервал е различен. Обаче е установено, че съществува параметър s с който ако умножим скалата на собственото време на една свръхнова (на нейната галактика) $\Delta t_s = s\Delta t_{\mathrm{gal}}$ , кривите на блясъка на всички свръхнови придобиват една и съща форма. Оказва се, че параметърът s е характеристика на самата свръхнова и зависи линейно от абсолютната звездна величина, $M_{\mathrm{peak}}$ , която свръхновата има в максимума на своя блясък. Зависимостта между двете величини може да се представи във вида:

s = a + bM_{\mathrm{peak}}\,,

където $a$ и $b$ са константи.

Ако е известен параметърът s на една далечна свръхнова, може да бъде изчислена нейната абсолютната звездна величина, като се използва горното равенство.

В таблицата са включени следните данни за три свръхнови: модул на разстоянието $\mu$ (за първите две), скорост на отдалечаване, $cz$ , и техните видими звездни величини, $m_{\mathrm{obs}}$ , в различни моменти от време. Времето, $\Delta t_{\mathrm{obs}} \equiv t - t_{\mathrm{peak}}$ показва колко денонощия са минали от момента в който свръхнова е имала максимален блясък, до момента в който е измерена съответната ѝ звездна величина. Включените в таблицата звездни величини са коригирани за междузвездна и атмосферна екстинкция.

Име	SN2006TD	SN2006IS	SN2005LZ
μ (mag)	34.27	35.64
cz (km s $^{-1}$ )	4515	9426	12060
Δt $_{\mathrm{obs}}$ (d)	m $_{\mathrm{obs}}$ (mag)	m $_{\mathrm{obs}}$ (mag)	m $_{\mathrm{obs}}$ (mag)
-15.00	19.41	18.35	20.18
-10.00	17.48	17.26	18.79
-5.00	16.12	16.42	17.85
0.00	15.74	16.17	17.58
5.00	16.06	16.41	17.72
10.00	16.72	16.82	18.24
15.00	17.53	17.37	18.98
20.00	18.08	17.91	19.62
25.00	18.43	18.39	20.16
30.00	18.64	18.73	20.48

(D3.1) Пресметнете стойностите на посочените времеви интервали $\Delta t_{\mathrm{gal}}$ , в отправни системи, спрямо които галактиките, където избухват свръхновите, са неподвижни.

Запишете получените от Вас стойности в съответните полета на таблицата, която се намира на ОБРАТНАТА страна на бланката за отговори (Summary Answersheet).

На една и съща графика, начертайте кривите, които показват изменението на блясъка на свръхновите в неподвижна отправна система. Надпишете графиката с “D3.1”). [15 т.]

(D3.2) Приемете, че параметърът, $s_2$ , за свръхновата SN2006IS е равен на 1.00. Пресметнете съответните параметри $s_1$ и $s_3$ , за двете свръхнови SN2006TD и SN2005LZ, съответно, след като определите продължителността на интервала $\Delta t_0$ за всяка една от тях. [5 т.]

(D3.3) Пресметнете скалираните времеви интервали, $\Delta t_s$ , за трите свръхнови. Напишете получените от Вас стойности в същите таблици в бланката за отговори (Summary Answersheet).

На друга графика начертайте кривите, които показват изменението на блясъка на трите свръхнови така, че да може да се провери, че те вече имат еднакъв профил. Надпишете тази графика с “D3.3”. [14 т.]

(D3.4) Пресметнете абсолютните звездни величини в максимума на блясъка $M_{\mathrm{peak,1}}$ , за SN2006TD и $M_{\mathrm{peak,2}}$ , за SN2006IS. Използвайте тези стойности, за да пресметнете константите $a$ и $b$ . [6 т.]

(D3.5) Пресметнете абсолютната звездна величина в максимума на блясъка $M_{\mathrm{peak,3}}$ , и модула на разстоянието, $\mu_3$ , за свръхновата SN2005LZ. [4 т.]

(D3.6) Използвайте стойността на модула на разстоянието $\mu_3$ , за да оцените стойността на константата на Хъбъл, $H_0$ . След това, оценете възрастта на Вселената, $T_{\mathrm{H}}$ . [6 т.]

Решение

D3.1

Redshifts for the three supernovae are $z_1 = 0.0151$ , $z_2 = 0.0314$ and $z_3 = 0.0402$ . [1.5]

Filling in the three tables ( $\Delta t_{\mathrm{gal}}$ , third column) [3.5]

SN2006TD

Δt $_{\mathrm{obs}}$ (d)	m $_{\mathrm{obs}}$ (mag)	Δt $_{\mathrm{gal}}$ (d)	Δt $_{\mathrm{s}}$ (d)
−15.00	19.41	−14.78	−20.00
−10.00	17.48	−9.85	−13.34
−5.00	16.12	−4.93	−6.67
0.00	15.74	0.00	0.00
5.00	16.06	4.93	6.67
10.00	16.72	9.85	13.34
15.00	17.53	14.78	20.00
20.00	18.08	19.70	26.67
25.00	18.43	24.63	33.34
30.00	18.64	29.56	40.01

SN2006IS

Δt $_{\mathrm{obs}}$ (d)	m $_{\mathrm{obs}}$ (mag)	Δt $_{\mathrm{gal}}$ (d)	Δt $_{\mathrm{s}}$ (d)
−15.00	18.35	−14.54	−14.54
−10.00	17.26	−9.70	−9.70
−5.00	16.42	−4.85	−4.85
0.00	16.17	0.00	0.00
5.00	16.41	4.85	4.85
10.00	16.82	9.70	9.70
15.00	17.37	14.54	14.54
20.00	17.91	19.39	19.39
25.00	18.39	24.24	24.24
30.00	18.73	29.09	29.09

SN2005LZ

Δt $_{\mathrm{obs}}$ (d)	m $_{\mathrm{obs}}$ (mag)	Δt $_{\mathrm{gal}}$ (d)	Δt $_{\mathrm{s}}$ (d)
−15.00	20.18	−14.42	−17.03
−10.00	18.79	−9.61	−11.35
−5.00	17.85	−4.81	−5.68
0.00	17.58	0.00	0.00
5.00	17.72	4.81	5.68
10.00	18.24	9.61	11.35
15.00	18.98	14.42	17.03
20.00	19.62	19.23	22.70
25.00	20.16	24.03	28.38
30.00	20.48	28.84	34.06

Full marks of 3.5 for all correct values.

Penalty for incorrect values (3×7 independent values):

Incorrect	1-3	4-6	7-9	10-12	13-15	16-18	19-21
Deduction	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5

The light curves in galaxy frame would appear as follows [10.0]

Graph Number: D3.1

Plot uses more than 50% of graph paper: 0.5
Both axes labels ( $\Delta t_{\mathrm{gal}}$ and $m_{\mathrm{obs}}$ ) present: 0.5
Both dimensions of axes (days and mag) present: 0.5
Ticks and values on axes (or scale written explicitly): 0.5
Points correctly plotted: All points correctly plotted: 5.0
Penalty for incorrect or missing points:

Incorrect	1	2-4	5-7	8-10	11-13	14-16	17-19	20-22	23-25	26-30
Deduction	0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0	5.0

Smooth curve through points: 1.0 per curve

Hand-drawn graph D3.1: m_obs (mag) from 15.50 to 20.50 (inverted) against Δt_gal (days) from −15 to 30 for SN2006TD (circled dots), SN2006IS (circled crosses) and SN2005LZ (squares), with smooth light curves; scale note: X-axis 1 cm = 2.5 days, Y-axis 1 cm = 0.25 mag, origin (−15, 20.75).

D3.2

From the graph D3.1, SN2006IS took 22.0 d to fade by 2 magnitudes.

That is, $\Delta t_0(\text{SN2006IS}) = 22.0$ d.

Similarly, $\Delta t_0(\text{SN2006TD}) = 16.4$ d.

And $\Delta t_0(\text{SN2005LZ}) = 18.8$ d.

Acceptable range: $\pm 1.0$ days [3.0]

Thus, stretching factors for these two supernovae are

\boxed{s_1 = \frac{22.2}{16.4} = 1.354}

\boxed{s_3 = \frac{22.2}{18.8} = 1.181}

[2.0]

D3.3

Filling the scaled values in the fourth column of the table ( $\Delta t_{\mathrm{s}}$ in table above) [3.5]

Full marks of 3.5 for all correct values.

Penalty for incorrect values (3×7 independent values):

Incorrect	1-3	4-6	7-9	10-12	13-15	16-18	19-21
Deduction	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5

The scaled light curves would appear as follows,

Graph Number: D3.3

[10.5]

Plot uses more than 50% of graph paper: 0.5
Both axes labels ( $\Delta t_{\mathrm{s}}$ and $m_{\mathrm{obs}}$ ) present: 0.5
Both dimensions of axes (days and mag) present: 0.5
Ticks and values on axes (or scale written explicitly): 0.5
Points correctly plotted: All points correctly plotted: 5.0
Penalty for incorrect or missing points:

Incorrect	1	2-4	5-7	8-10	11-13	14-16	17-19	20-22	23-25	26-30
Deduction	0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0	5.0

Smooth curve through points: 1.0 per curve
The curves should show identical profiles. [0.5]

D3.4

To get $a$ and $b$ ,

M_{\mathrm{peak,1}} = m_{\mathrm{peak,1}} - \mu_1 = 15.74 - 34.27\ \mathrm{mag} = -18.53\ \mathrm{mag}

M_{\mathrm{peak,2}} = m_{\mathrm{peak,2}} - \mu_2 = 16.17 - 35.64\ \mathrm{mag} = -19.47\ \mathrm{mag}

[2.0]

\therefore b = \frac{s_1 - s_2}{M_{\mathrm{peak,1}} - M_{\mathrm{peak,2}}} = \frac{1.354 - 1}{-18.53 - (-19.47)}\ \mathrm{mag^{-1}} = \frac{0.354}{0.94}\ \mathrm{mag^{-1}}

\boxed{b = 0.3762\ \mathrm{mag^{-1}}}

[2.0]

a = s_2 - bM_{\mathrm{peak,2}} = 1 - 0.3762 \times (-19.47) = 1 + 7.325

\boxed{a = 8.325}

[2.0]

No penalty for missing $\mathrm{mag^{-1}}$ in $b$ .

D3.5

s_3 = a + bM_{\mathrm{peak,3}}

\therefore M_{\mathrm{peak,3}} = \frac{s_3 - a}{b} = \frac{1.181 - 8.325}{0.3762}\ \mathrm{mag} = \frac{-7.144}{0.3762}\ \mathrm{mag}

\boxed{M_{\mathrm{peak,3}} = -18.99\ \mathrm{mag}}

[2.0]

Distance modulus to SN2005LZ is

\mu_3 = m_{\mathrm{peak,3}} - M_{\mathrm{peak,3}} = 17.58 - (-18.99)\ \mathrm{mag}

\boxed{\mu_3 = 36.57\ \mathrm{mag}}

[2.0]

D3.6

Distance to SN2005LZ is

d_3 = 10^{\left(\frac{\mu_3}{5}+1\right)}\mathrm{pc} = 10^{\left(\frac{\mu_3}{5}+1-6\right)}\mathrm{Mpc} = 10^{\left(\frac{36.57}{5}-5\right)}\mathrm{Mpc} = 10^{2.314}\mathrm{Mpc} \simeq 206\ \mathrm{Mpc}

H_0 = \frac{cz_3}{d_3} = \frac{12060}{206}\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}

\boxed{H_0 = 58.5\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}}

[4.0]

T_{\mathrm{H}} = \frac{1}{H_0} = \frac{3.086 \times 10^{22}}{58.5 \times 10^3 \times 3.156 \times 10^7}\ \mathrm{yr}

\boxed{T_{\mathrm{H}} = 16.7\ \mathrm{Gyr}}

[2.0]

Extra factor of 2/3 allowed in the value of $T_{\mathrm{H}}$ .

Оригинал в Архива: data_analysis_bg.pdf · официални решения: data_analysis_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_data_analysis_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: data_analysis.pdf · допълнителни данни: Data-analysis-qp.pdf