Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие Решение

IOAA 2016, Теория, български — Задача 2. Атмосферата на Титан

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Теоретичен тур · 10 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на теоретичния тур е пет часа.

(2) Теоретичният тур се състои от:

Задачи	Точки всяка	Общо
от 1 до 5	10	10 × 5 = 50 точки
от 6 до 10	20	20 × 5 = 100 точки
от 11 и 12	50	50 × 2 = 100 точки

Общо = 250 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив.

(5) Няма да бъдат отнемани точки за невярно или липсващо решение на нито една от задачите.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

f. Моля, пишете само в очертаното поле!

g. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

Скоростите на частиците на газовете в планетните атмосфери са разпределени в широк диапазон от стойности. Ако средно-квадратичната топлинна скорост на частиците в някаква атмосфера надвишава 1/6 от параболичната скорост на повърхността на планетата, то по-голямата част от газа би напуснал планетата. Каква е най-малката стойност на атомното тегло $A_{\mathrm{min}}$ на идеален едноатомен газ, при която той ще остане в атмосферата на Титан?

Можете да използвате следните стойности:

Маса на Титан: $M_{\mathrm{T}} = 1.23 \times 10^{23}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Титан: $R_{\mathrm{T}} = 2575\ \mathrm{km}$
Температура на повърхността на Титан: $T_{\mathrm{T}} = 93.7\ \mathrm{K}.$

Решение

As the gas is monatomic,

\frac{3}{2}k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{T}} \approx \frac{1}{2}m_{\mathrm{g}}v_{\mathrm{rms}}^2

3k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{T}} \approx \frac{M_{\mathrm{g}}}{N_{\mathrm{A}}}v_{\mathrm{rms}}^2

\therefore\ v_{\mathrm{rms}} \approx \sqrt{\frac{3k_{\mathrm{B}}N_{\mathrm{A}}T_{\mathrm{T}}}{M_{\mathrm{g}}}}

[4.0]

50% deduction if 3/2 pre-factor is not used and 1/2 or 1 are used instead. Full credit if students writes the relation for $v_{\mathrm{rms}}$ directly.

To remain in atmosphere,

v_{\mathrm{rms}} < \frac{v_{\mathrm{esc}}}{6} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{2GM_{\mathrm{T}}}{R_{\mathrm{T}}}}

\sqrt{\frac{3k_{\mathrm{B}}N_{\mathrm{A}}T_{\mathrm{T}}}{M_{\mathrm{g}}}} < \sqrt{\frac{GM_{\mathrm{T}}}{18R_{\mathrm{T}}}}

\therefore\ M_{\mathrm{g}} > \frac{54k_{\mathrm{B}}N_{\mathrm{A}}T_{\mathrm{T}}R_{\mathrm{T}}}{GM_{\mathrm{T}}}

[4.0]

> \frac{54 \times 1.381 \times 10^{-23} \times 6.022 \times 10^{23} \times 93.7 \times 2.575 \times 10^{6}}{6.6741 \times 10^{-11} \times 1.23 \times 10^{23}}\ \mathrm{g}

> 13.2\ \mathrm{g}

[1.5]

Thus, all gases with atomic weight more than $A_{\min} = 13.2$ will be retained in the atmosphere of Titan. [0.5]

Half mark for understanding that atomic mass has no units.

Alternative solution

\frac{3}{2}k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{T}} \approx \frac{1}{2}m_{\mathrm{g}}v_{\mathrm{rms}}^2

\therefore\ v_{\mathrm{rms}} \approx \sqrt{\frac{3k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{T}}}{m_{\mathrm{g}}}}

[4.0]

\therefore\ m_{\mathrm{g}} > \frac{54k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{T}}R_{\mathrm{T}}}{GM_{\mathrm{T}}}

[4.0]

m_{\mathrm{g}} > 2.19 \times 10^{-26}\ \mathrm{kg}

[1.0]

\therefore\ A_{\min} = \frac{m_{\mathrm{g}}}{\mathrm{atomic\ mass\ unit}} = \frac{2.19 \times 10^{-26}\ \mathrm{kg}}{1.66 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}}

A_{\min} = 13.2

[1.0]

Answers between 13.0 and 13.4 are acceptable with full credit.

Оригинал в Архива: theory_bg.pdf · официални решения: theory_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_theory_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: theory.pdf