Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие Решение

IOAA 2016, Теория, български — Задача 3. Ранна Вселена

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Теоретичен тур · 10 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на теоретичния тур е пет часа.

(2) Теоретичният тур се състои от:

Задачи	Точки всяка	Общо
от 1 до 5	10	10 × 5 = 50 точки
от 6 до 10	20	20 × 5 = 100 точки
от 11 и 12	50	50 × 2 = 100 точки

Общо = 250 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив.

(5) Няма да бъдат отнемани точки за невярно или липсващо решение на нито една от задачите.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

f. Моля, пишете само в очертаното поле!

g. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

Според космологичните модели, плътността на лъчистата енергия $\rho_{\mathrm{r}}$ , във Вселената е пропорционална на $(1+z)^4$ , а плътността на енергията на веществото, $\rho_{\mathrm{m}}$ , е пропорционална на $(1+z)^3$ , където $z$ е червеното отместване, съответстващо на епохата за която се отнасят тези плътности. Безразмерният параметър на плътността $\Omega$ , се дефинира като $\Omega = \rho/\rho_{\mathrm{c}}$ , където $\rho_{\mathrm{c}}$ е критичната стойност на плътността на енергията във Вселената. В настоящата епоха параметрите на плътността за лъчението и веществото имат стойности, съответно: $\Omega_{\mathrm{r_0}} = 10^{-4}$ и $\Omega_{\mathrm{m_0}} = 0.3$ .

(T3.1) Пресметнете червеното отместване, $z_{\mathrm{e}}$ , което съответства на епохата в която плътностите на енергията на лъчението и веществото са били равни. [3 т.]

(T3.2) Нека да примем, че лъчението в ранната Вселена има спектър на абсолютно черно тяло с температура 2.723К. Оценете температурата, , $T_{\mathrm{e}}$ , на лъчението, която съответства на червено отместване $z_{\mathrm{e}}$ . [4 т.]

(T3.3) Оценете типичната стойност на енергията на един фотон $E_{\nu}$ (в $\mathrm{eV}$ ), в епохата на това червено отместване $z_{\mathrm{e}}$ . [3 т.]

Решение

T3.1:

\frac{\rho_{\mathrm{mo}}/\rho_{\mathrm{c}}}{\rho_{\mathrm{ro}}/\rho_{\mathrm{c}}} = \frac{\Omega_{\mathrm{m}_0}}{\Omega_{\mathrm{r}_0}} = \frac{0.3}{10^{-4}} = 3000

At $z_{\mathrm{e}}$ , both matter density and radiation density were equal.

\rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{m}}

\therefore\ \rho_{\mathrm{r}_0}(1+z_{\mathrm{e}})^4 = \rho_{\mathrm{m}_0}(1+z_{\mathrm{e}})^3

1+z_{\mathrm{e}} = \frac{\rho_{\mathrm{m}_0}}{\rho_{\mathrm{r}_0}} = 3000

[2.0]

\therefore\ z_{\mathrm{e}} \simeq 3000

[1.0]

Only $z_{\mathrm{e}} = 2999$ and $z_{\mathrm{e}} = 3000$ are acceptable answers.

T3.2:

As the Universe behaves like an ideal black body, the radiation density will be proportional to the fourth power of the temperature (Stefan's law).

\left(\frac{T_{\mathrm{e}}}{T_0}\right)^4 = \frac{\rho_{\mathrm{re}}}{\rho_{\mathrm{r}_0}}

= \frac{\rho_{\mathrm{r}_0}(1+z_{\mathrm{e}})^4}{\rho_{\mathrm{r}_0}}

[2.0]

\left(\frac{T_{\mathrm{e}}}{2.732}\right)^4 = (1+z_{\mathrm{e}})^4

[1.0]

\frac{T_{\mathrm{e}}}{2.732} = 1+z_{\mathrm{e}} = 3000

T_{\mathrm{e}} = 3000 \times 2.732

T_{\mathrm{e}} = 8200\ \mathrm{K}

[1.0]

$8100 \leq T_{\mathrm{e}} \leq 8200$ gives 1.0; $8200 < T_{\mathrm{e}} \leq 9000$ gives 0.5; else 0.

T3.3:

Wien's law:

\lambda_{\max} = \frac{0.002898\ \mathrm{m\ K}}{T_e}

= \frac{0.002898}{8200}\ \mathrm{m} = 354\ \mathrm{nm}

[1.0]

E_{\nu} = \frac{hc}{\lambda_{\max}}

= \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{354 \times 10^{-9}}\ \mathrm{J} = \frac{5.62 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}}\ \mathrm{eV}

[1.0]

E_{\nu} = 3.5\ \mathrm{eV}

[1.0]

Alternative solution:

E_{\nu} = k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{e}}

= 1.38 \times 10^{-23} \times 8200\ \mathrm{J} = \frac{1.13 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}}\ \mathrm{eV}

[2.0]

E_{\nu} = 0.71\ \mathrm{eV}

[1.0]

Use of either Wien's law or $E = k_{\mathrm{B}}T$ gets full credit. $E_{\nu} = 3k_{\mathrm{B}}T/2$ or similar gets no credit. Answers with $E_{\nu} = 3k_{\mathrm{B}}T$ or $E_{\nu} = 2.7k_{\mathrm{B}}T$ also get full credit.

Оригинал в Архива: theory_bg.pdf · официални решения: theory_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_theory_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: theory.pdf