IZhO 2005, Теория, Младша група — Задача 1

• $\upsilon_0 = \sqrt{gl + 2gh}$

  В официальном решении (вариант с числами: высота 5 м, ширина 7 м) получено $\alpha = 62{,}61^{0}$ и $x = 3{,}35$ м.

Из какого места и под каким углом к горизонту необходимо бросать камень, чтобы она при наименьшей начальной скорости могла перелететь через прямоугольную преграду высотой 5 м и шириной 7 м, не коснувшись ее? Считайте, что камень бросается с поверхности земли. Сопротивлением воздуха пренебречь. (8 баллов)

Решение:

Требование минимальности скорости бросания камня с поверхности земли означает, что оптимальная траектория камня пройдет через точки $A$ и $B$ ( см.Рис.1 ), причем в точке $A$ скорость камня будет минимально возможной. ( 2,0 балла )

Из этих условии получим, что $\beta = 45^{\circ}$, $\upsilon_A = \sqrt{gl}$. ( 1,0 балл )

Минимальную скорость в точке $O$ определим из закона сохранения энергии $\upsilon_0 = \sqrt{gl + 2gh}$. ( 2,0 балла )

Так как горизонтальная составляющая скорости сохраняется $\upsilon_{0x} = \upsilon_A / \sqrt{2}$. Тогда угол бросания камня $\cos\alpha = \upsilon_{0x} / \upsilon_0$, откуда $\alpha = 62{,}61^{0}$. ( 1,5 балла )

Вертикальное составляющие скорости в точках $O$ и $A$: $\upsilon_{0y} = \upsilon_0 \sin\alpha$ и $\upsilon_{Ay} = \upsilon_A \sin\beta$. Время полета от точки $O$ до точки $A$ $t = (\upsilon_{0y} - \upsilon_{Ay}) / g$. Тогда окончательно точка бросания определим по формуле $x = \upsilon_{0x} t$. Откуда $x = 3{,}35$ м. ( 1,5 балла)