IZhO 2005, Теория, Младша група — Задача 2

• $u = \sqrt{\upsilon_0^2 - 2a\mu g}$

  При $\upsilon_0^2 \ge 2a\mu g$ оба бруска движутся от стены со скоростью $u$; при $\upsilon_0^2 < 2a\mu g$ оба бруска останавливаются.

Решение:

После удара верхнего бруска о стену его скорость изменится на противоположную по направлению, сохранив свой модуль, а скорость нижнего бруска не изменится. Затем бруски начнут двигаться навстречу друг другу с одинаковыми по модулю начальными скоростями и равными по модулю, но противоположно направленными ускорениями. Из-за этого скорости брусков будут уменьшаться , все время оставаясь равными друг другу. ( 1,0 балл )

В результате нижний брусок либо не достигнет стены, либо все же ударится о нее, имея некоторую скорость $u$. В первом случае оба бруска останутся стоять неподвижно на некотором расстоянии от стены. Во втором случае нижний брусок, ударившись о стену, поменяет направление своей скорости на противоположное, в результате чего проскальзывание между брусками прекратится и оба бруска продолжат движение со скоростью, равной $u$, в направлении от стены. Рассмотрим отдельно оба случая. ( 1,0 балл )

Поместим начало координат по оси $x$ в угол между стеной и полом и направим ее в сторону первоначального движения брусков. Ясно, что после первого удара сила трения между брусками составляет $F_{\text{тр}} = \mu Mg$, ускорение нижнего и верхнего брусков по модулю равно $F_{\text{тр}} / M = \mu g$. Тогда закон движения передней грани нижнего бруска имеет вид $x = -a + \upsilon_0 t - \mu g t^2 / 2$ а его скорость меняется по закону $\upsilon = \upsilon_0 - \mu g t$, при этом время отсчитывается от момента удара верхнего бруска о стену. ( 2,0 балла )

Найдем условие на скорость $\upsilon_0$, при которой нижний брусок не доедет до стены. Оно получается из неравенства $x = -a + \upsilon_0 t - \mu g t^2 / 2 < 0$. Решая его находим, что дискриминант квадратного трехчлена, содержащегося в неравенстве, отрицателен при $\upsilon_0^2 < 2a\mu g$. Время, через которое нижний брусок остановится, можно определить, приравняв скорость $\upsilon$ нулю: $t_1 = \upsilon_0 / \mu g$. ( 2,0 балла )

Пусть теперь $\upsilon_0^2 \ge 2a\mu g$. Из закона движения нижнего бруска найдем, через какое время $t_2$ он стукнется о стену:

Для того чтобы нижний брусок стукнулся о стену, нужно, чтобы выполнялось условие $t_2 < t_1$. Поэтому останется только результат со знаком «минус» перед корнем. Тогда скорость, которую будут иметь оба бруска после взаимодействия со стеной $u = \upsilon_0 - \mu g t_2 = \sqrt{\upsilon_0^2 - 2a\mu g}$ ( 2,0 балла )