Съдържание

IZhO 2005, Теория, Старша група — Задача 1

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от IZhO, папка 2004

1-ая МЕЖДУНАРОДНАЯ ЖАУТЫКОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ, АЛМАТЫ 2005. Физика, теоретический тур, старшая группа · 5 т.

Внимание: Бележка към темата

Рисунки (Рис.1 и Рис.2 условия, рисунки в решениях) в архивном файле отсутствуют. Официальные решения относятся к варианту задач с числовыми данными и другими баллами; решение задачи 3 в файле решений относится к другой задаче (конденсатор с диодами), поэтому для задачи 3 решения нет.

Условие на казахском языке

ОҚУШЫЛАРДЫҢ МАТЕМАТИКА ЖӘНЕ ФИЗИКА ПӘНІНЕН 1-інші ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ЖӘУТІКОВ ОЛИМПИАДАСЫ, АЛМАТЫ 2005

Физика, теориялық сайыс, ересек оқушылар тобы

Тасты биіктігі $h$ , ал ені $l$ болатын тікбұрышты кедергіге тигізбей асыру үшін мүмкін болатын ең аз бастапқы жылдамдықпен қай жерден лақтыру қажет. Тас жер бетінен лақтырылады деп есептеңіз. Ауаның кедергісін ескеріп қажеті жоқ. (5 ұпай)
Идеал газдың төмендегі 1-суреттегі 1 – 4 – 3 – 2 – 1 тұйық циклінде жасайтын $A$ жұмысын анықтаңыз. Мұндағы $p_1=10^5$ Па, $p_o=3\cdot 10^5$ Па, $p_2=4\cdot 10^5$ Па, $V_2 - V_1 = 10$ л, ал циклдің 4 – 3 және 1 – 1 бөліктері $V$ осіне параллель. (5 ұпай)
Төмендегі 2-суреттегі сызбадағы $A$ және $B$ нүктелерінің арасындағы кедергіні табыңыздар. (5 ұпай)
Өлшемдері елеместей аз, массалары $m_1$ және $m_2$ екі дене қатты, әрі салмақсыз стержнге ілу нүктесінен сәйкес $l_1$ және $l_2$ қашықтықта орналасатындай етіп бекітілген. Осындай маятниктің тербелу жиілігін анықтаңыз. (5 ұпай)

Условие

Из какого места необходимо бросать камень, чтобы она при наименьшей начальной скорости могла перелететь через прямоугольную преграду высотой $h$ и шириной $l$ , не коснувшись ее? Считайте, что камень бросается с поверхности земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Задача 1

Из какого места и под каким углом к горизонту необходимо бросать камень, чтобы она при наименьшей начальной скорости могла перелететь через преграду приведенной на Рис.1 не коснувшись ее. Размеры преграды: h=4 м, H=7 м, l=5 м. Считайте, что камень бросается с поверхности земли. Сопротивлением воздуха пренебречь. (8 баллов)

Решение:

Требование минимальности скорости бросания камня с поверхности земли означает, что оптимальная траектория камня пройдет через точки крыши $B$ и $C$ , причем в точке $B$ скорость камня будет минимально возможной. ( 1,0 балл )

Условия прохождения камня через точки $B$ и $C$ :

l = \upsilon\cdot\cos\alpha\cdot t

H = h + \upsilon\cdot\sin\alpha\cdot t - gt^2/2\,.

Исключив из этих уравнении $t$ , получим

\frac{gl^2}{2\upsilon^2}tg^2\alpha - l\cdot tg\alpha + \frac{gl^2}{2\upsilon^2} + (H - h) = 0\,.

Приравнивая нулю дискриминант данного уравнения получим минимально возможную скорость в точке $B$

\upsilon_{\min}^2 = g\left[\left(H - h\right) + \sqrt{\left(H - h\right)^2 + l^2}\right],

( 2,0 балла )

\upsilon_{\min} = 9{,}31\ \text{м/с}.

Угол в точке $B$

tg\alpha = \frac{\upsilon_{\min}^2}{gl} = 1{,}77\,, \qquad \alpha=60{,}54^{\mathrm{o}}.

Тогда минимальная скорость бросания камня с поверхности земли

\upsilon_{0\min}^2 = \upsilon_{\min}^2 + 2gh\,, \qquad \upsilon_{0\min} = 12{,}85\ \text{м/с}.

$x$ -овая компонента скорости

\upsilon_{0x} = \upsilon_x = \upsilon_{\min}\cdot\cos\alpha = 4{,}58\ \text{м/с}\,.

Тогда угол бросания камня с поверхности земли

\cos\alpha_0 = \upsilon_{0x}/\upsilon_{0\min} = 0{,}36\,, \qquad \alpha_0 = 68{,}90^0.

( 2,5 балла )

$y$ -овая компонента скорости

\upsilon_y = \upsilon_{\min}\cdot\sin\alpha = 8{,}11\ \text{м/с}, \qquad \upsilon_{0y} = \upsilon_{0\min}\cdot\sin\alpha = 11{,}99\ \text{м/с}.

Время полета от точки бросания до точки $B$

t = \left(\upsilon_{0y} - \upsilon_y\right)/g\,.

Тогда окончательно

x = \upsilon_x\cdot t = 1{,}83\ \text{м}.

( 2,5 балла )

Задача 3 из файла решений (другая задача)

Задача 3

В схеме, приведенной на Рис.3, при разомкнутом ключе К конденсатор заряжен до некоторого напряжения $U_o$ . Ключ замыкают, и через какое то время ток в цепи прекращается. Какова должна быть величина $U_o$ , чтобы напряжение на конденсаторе установилось равным 1 В при изменившейся полярности пластин, если ЭДС каждой батареи в цепи Е=1,5 В? Диоды считать идеальными. (8 баллов)

Решение:

Через диод $Д_1$ ток может течь только слева направо, а через диод $Д_2$ – только справа налево. Таким образом, данная цепь представляет собой колебательный контур, содержащий источник тока с постоянной ЭДС, включенной каждый раз навстречу току. (1,0 балл)

Пусть в некоторый момент времени при замкнутом ключе $K$ ток в цепи отсутствует, напряжение на конденсаторе равно $U_n$ , а заряд равен $q_n=CU_n$ (верхняя пластина конденсатора заряжена положительно). В течение ближайшей следующей половины периода конденсатор будет перезаряжаться – сначала разряжаться, потом заряжаться зарядами противоположных знаков. При этом ток неизменного направления будет течь через диод $Д_1$ , совершая работу против сторонних сил в источнике. Через полпериода заряд конденсатора станет равным $q_{n+1}$ , так что через источник протечет заряд $q_n+q_{n+1}$ (знак заряда пластин изменяется). (1,0 балл)

По закону сохранения энергии убыль энергии электрического поля конденсатора равна работе против сторонних сил:

\frac{q_n^2}{2C} - \frac{q_{n+1}^2}{2C} = (q_n + q_{n+1})\cdot E\,, \quad \text{откуда} \quad U_n - U_{n+1} = 2E

Таким образом, через полпериода напряжение на конденсаторе уменьшится на $2E = 3$ В. (2,0 балла)

Так будет происходить до сих пор, пока напряжение (при силе тока, равной нулью) не окажется меньше, чем $E=1{,}5$ В. Поскольку по условию задачи конечное напряжение равно 1 В при изменившейся полярности пластин, начальное напряжение на конденсаторе (измеренное в вольтах) может быть равно

U_0 = 4 + 6n\,, \quad \text{где} \ n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots

(2,0 балла)

При получении этой серии решений предполагалось, что в каждую половину периода колебаний, включая последнюю, знак зарядов пластин изменяется. Однако возможен случай, когда в последнюю половину периода заряд изменяется от $q_{N-1}$ до $q_N$ без изменений знака. Тогда через источник протекает заряд $q_{N-1}-q_N$ и закон сохранения энергии записывается в виде:

\frac{q_{N-1}^2}{2C} - \frac{q_N^2}{2C} = (q_{N-1} - q_N)\cdot E\,, \quad \text{откуда} \quad U_{N-1} + U_N = 2E

Таким образом, $U_{N-1} = 2E - U_N = 2$ В (верхняя пластина конденсатора имеет отрицательный заряд), $U_{N-2} = U_{N-1} + 2E = 5$ В (верхняя пластина конденсатора заряжена положительно) и т.д. Начальное напряжение в этом случае может быть равно

U_0 = 5 + 6n\,, \quad \text{где} \ n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots

(2,0 балла)

Итак, имеется две серии решений:

U_0 = \begin{cases} 4 + 6n \\ 5 + 6n \end{cases} \quad n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots

Оригинал в Архива: IZhO-2004-Theory_sen.doc · официални решения: IZhO-2004-Theory_sen_sol.doc