Съдържание

IZhO 2008, Теория — Задача 1

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от IZhO 2008

IV International Zhautykov Olympiad. Theoretical Competition. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР. 16 января 2008 года · 16 януари 2008 г.

Сначала, пожалуйста, прочитайте следующее:

Теоретический тур состоит из трех задач. Продолжительность тура 4 часа.
Пользуйтесь только той ручкой, которая Вам предоставлена.
Для расчетов Вы можете использовать свой калькулятор. Если своего у вас нет, тогда Вы можете попросить его у организаторов олимпиады.
Вам предоставлены чистые листы бумаги и Листы для записи (Writing sheets). Чистые листы бумаги предназначены для черновых записей, их Вы можете использовать по Вашему усмотрению, они не проверяются. На Writing sheets следует записывать решения задач, которые будут оценены при проверке работы. В решениях как можно меньше используйте словесные описания. В основном Вы должны использовать уравнения, цифры, буквенные обозначения, рисунки и графики.
Используйте только лицевую сторону Writing sheets. При записи не выходите за пределы отмеченной рамки.
Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы Writing sheets.
На каждом использованном Writing sheets, в отведенных для этого графах, необходимо указать Вашу страну (Country), Ваш код (Student Code), порядковый номер задачи (Question Number), текущий номер каждого листа (Page Number) и полное количество листов, использованных при решении всех задач (Total Number of Pages). Если Вы не хотите, чтобы некоторые использованные Writing sheets были включены в ответ, тогда перечеркните их большим крестом на весь лист и не включайте в Ваш подсчёт полного количества листов.
Когда Вы закончите тур, разложите все листы в следующем порядке:
- Пронумерованные по порядку Writing sheets;
- Черновые листы;
- Неиспользованные листы;
- Отпечатанные условия задачи
Положите все листы бумаги в конверт и оставьте на столе. Вам не разрешается выносить никакие листы бумаги из аудитории.

Условие

Данная задача состоит из четырех независимых частей.

Закрытый вертикальный цилиндр радиуса R, вращающийся с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси (штриховая линия, стрелка вращения и буква ω сверху); внутри у боковой стенки внизу лежит шар.

1А В закрытом вертикальном цилиндрическом сосуде радиуса $R$ полностью заполненном водой находится однородный сплошной шар радиуса $R/2$ . Сосуд раскрутили вокруг его вертикальной оси до угловой скорости $\omega$ . Найдите силу давления шара на боковую поверхность цилиндра. Плотность воды – $\rho_0$ , плотность материала шара – $\rho$ . [2 т.]

1В Теплоемкости тел могут зависеть от температуры (например, при низких температурах). Два одинаковых тела, удельные теплоемкости которых зависят от температуры $t$ по закону

c(t) = c_0(1 + \alpha t),

(где $c_0$ и $\alpha$ - известные постоянные величины) приведены в тепловой контакт. Начальные температуры тел равны $t_1$ и $t_2$ . Определите установившуюся температуру тел. Потерями теплоты пренебречь. [3 т.]

Кольцо из точечных масс (шариков), соединённых короткими пружинками; от каждой массы наружу и внутрь направлены радиальные стрелки; у одной массы подписаны m и k. — Рис.1

1C Найдите период малых радиально симметричных колебаний кольца, состоящего из $n$ одинаковых коротких невесомых пружинок жёсткостью $k$ , соединяющих $n$ точечных масс $m$ (см.Рис.1). Считайте, что $n \gg 1$ . [2 т.]

Пластина, разрезанная на две части по ломаной линии (бипризма с углом γ); слева на неё падает параллельный пучок I, справа приложена сила F, слева — противоположная сила F; обозначена площадь S. — Рис.2

1D Тонкая плоско-параллельная стеклянная пластина с показателем преломления $n = 1{,}5$ разрезана на две части, одна из которых представляет собой бипризму Френеля с малым преломляющим углом $\gamma = 0{,}1$ рад. (см.Рис.2) Пластина облучается мощным пучком монохроматического излучения с интенсивностью $I = 10$ кВт/см $^2$ . Свет падает перпендикулярно плоскости пластины площадью $S = 10$ см $^2$ . Какую силу $F$ необходимо приложить, чтобы раздвинуть разрезанные части пластины так, чтобы между ними образовался небольшой зазор постоянной толщины? Потерями света в стекле и отражением на границах пренебречь. [3 т.]

Отговори

Решение

1А (2 балла)

На шар действует сила давления со стороны стенки $\vec{F}_1$ (которая по третьему закону Ньютона равна по модулю искомой силе давления шара на стенку) и сила давления $\vec{F}_A$ со стороны жидкости (сила Архимеда). Центр шара движется по окружности радиуса $R/2$ с угловой скоростью $\omega$ , поэтому на основании второго закона Ньютона для центра масс можно записать уравнение

m\omega^2\frac{R}{2} = F_1 + F_A, \qquad (1.1)

где $m = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{R}{2}\right)^3\rho$ - масса шара. Сила Архимеда может быть записана в виде (по аналогии с выводом закона Архимеда из условия равновесия жидкости)

F_A = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{R}{2}\right)^3\rho_0\frac{\omega^2 R}{2}. \qquad (1.2)

Из уравнения (1.1) с учетом формулы (1.2) получаем:

F_1 = \frac{1}{6}\pi R^3\rho\frac{\omega^2 R}{2} - \frac{1}{6}\pi R^3\rho_0\frac{\omega^2 R}{2} = \frac{1}{12}\pi R^4\omega^2(\rho - \rho_0). \qquad (1.3)

Заметим, что данная формула применима, когда плотность материала шара больше плотности жидкости $\rho > \rho_0$ . В противном случае шар не будет касаться стенки (уплывет к оси сосуда), поэтому при $\rho < \rho_0$ сила давления будет равна нулю.

1В (3 балла)

График линейно растущей теплоемкости C от температуры t; площадь под графиком от t₁ до t* закрашена светло-серым, от t* до t₂ — тёмно-серым.

Построим график зависимости теплоемкости тел от температуры. Площадь под этим графиком численно равна количеству полученной или отданной теплоты. Так как теплоемкости тел одинаковы, условию теплового баланса соответствует равенство площадей трапеций под графиком от $t_1$ до установившейся температуры $t^*$ и от $t^*$ до $t_2$ . Из этого условия следует равенство

\left(c(t_1) + c(t^*)\right)\cdot(t^* - t_1) = \left(c(t_2) + c(t^*)\right)\cdot(t_2 - t^*). \qquad (1.4)

Подстановка выражения для теплоемкости приводит к уравнению

(1 + \alpha t_1 + 1 + \alpha t^*)(t^* - t_1) = (1 + \alpha t_2 + 1 + \alpha t^*)(t_2 - t^*), \qquad (1.5)

положительный корень которого дает ответ на вопрос задачи:

t^* = \frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{1 + \alpha(t_1 + t_2) + \frac{\alpha^2}{2}(t_1^2 + t_2^2)} - 1\right) = \frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{(1 + \alpha t_1)^2 + (1 + \alpha t_2)^2}{2}} - 1\right). \qquad (1.6)

Примечания.

Возможен интересный геометрический вариант решения данной задачи. Продлим график зависимости теплоемкости от температуры до пересечения с осью температур (точка $A$ ). Обозначим площади треугольников от точки $A$ до соответствующих температур $S_1, S^*, S_2$ . Так как эти треугольники подобны, то их площади пропорциональны квадратам высот, то есть $c^2(t)$ . Условие равенства нужных площадей имеет вид

Прямая C(t), продолженная до пересечения с осью температур в точке A; площади под графиком от t₁ до t* (светло-серая) и от t* до t₂ (тёмно-серая).

S_2 - S^* = S^* - S_1.

Откуда следует

S^* = \frac{S_1 + S_2}{2},

или

(1 + \alpha t^*)^2 = \frac{(1 + \alpha t_1)^2 + (1 + \alpha t_2)^2}{2}.

Из этого уравнения конечная температура $t^*$ выражается элементарно.

Допустимо получить выражение для внутренней энергии тел (проинтегрировав теплоемкости) и затем записать закон ее сохранения.

1C (2 балла)

Кинетическая энергия колебаний

E_k = n\frac{m\upsilon^2}{2} = n\frac{mx'^2}{2} = \frac{\alpha x'^2}{2}, \quad \text{где } \alpha = nm.

Потенциальная энергия колебаний

E_p = \frac{(k/n)(\Delta\ell)^2}{2} = \frac{(k/n)(2\pi x)^2}{2} = \frac{(4\pi^2 k/n)\cdot x^2}{2} = \frac{\beta x^2}{2},

где $\beta = 4\pi^2 k/n$ . Циклическая частота

\omega^2 = \beta/\alpha = 4\pi^2 k/n^2 m.

Период колебаний

T = 2\pi/\omega = n\sqrt{m/k}.

1D (3 балла)

Со стороны излучения на бипризму действует сила давления, связанная с преломлением света. Эта сила направлена вдоль оси $x$ распространения пучка света и по величине равна изменению импульса фотонов в единицу времени. Каждый фотон после прохождения через призму отклоняется на угол

\theta = (n - 1)\gamma.

Изменение импульса фотона

\Delta p_x = p(1 - \cos\theta) \approx p\theta^2/2 = p(n-1)^2\gamma^2/2 = (h\nu/c)(n-1)^2\gamma^2/2

Число фотонов падающих на призму в единицу времени

N = IS/h\nu.

Сила

F = N\Delta p_x = IS(n - 1)^2\gamma^2/2c = 4{,}2\ 10^{-7}\ \text{Н}.

Так как полный импульс фотонов после прохождения пластины не изменяется, то на вторую призму (вогнутую) действует такая же по величине сила, но противоположная по направлению. Таким образом, для создания небольшого зазора, необходимо преодолеть силу давления излучения, растягивая призмы в разные стороны силой

F = 4{,}2\ 10^{-7}\ \text{Н}.

Оригинал в Архива: IZhO-2008-Theory_rus_sf.doc · официални решения: IZhO-2008-Theory_rus_sol_sf.doc