Съдържание

IZhO 2008, Теория — Задача 2. Электромагнитная пушка

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от IZhO 2008

IV International Zhautykov Olympiad. Theoretical Competition. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР. 16 января 2008 года · 16 януари 2008 г. · 10 т.

Сначала, пожалуйста, прочитайте следующее:

Теоретический тур состоит из трех задач. Продолжительность тура 4 часа.
Пользуйтесь только той ручкой, которая Вам предоставлена.
Для расчетов Вы можете использовать свой калькулятор. Если своего у вас нет, тогда Вы можете попросить его у организаторов олимпиады.
Вам предоставлены чистые листы бумаги и Листы для записи (Writing sheets). Чистые листы бумаги предназначены для черновых записей, их Вы можете использовать по Вашему усмотрению, они не проверяются. На Writing sheets следует записывать решения задач, которые будут оценены при проверке работы. В решениях как можно меньше используйте словесные описания. В основном Вы должны использовать уравнения, цифры, буквенные обозначения, рисунки и графики.
Используйте только лицевую сторону Writing sheets. При записи не выходите за пределы отмеченной рамки.
Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы Writing sheets.
На каждом использованном Writing sheets, в отведенных для этого графах, необходимо указать Вашу страну (Country), Ваш код (Student Code), порядковый номер задачи (Question Number), текущий номер каждого листа (Page Number) и полное количество листов, использованных при решении всех задач (Total Number of Pages). Если Вы не хотите, чтобы некоторые использованные Writing sheets были включены в ответ, тогда перечеркните их большим крестом на весь лист и не включайте в Ваш подсчёт полного количества листов.
Когда Вы закончите тур, разложите все листы в следующем порядке:
- Пронумерованные по порядку Writing sheets;
- Черновые листы;
- Неиспользованные листы;
- Отпечатанные условия задачи
Положите все листы бумаги в конверт и оставьте на столе. Вам не разрешается выносить никакие листы бумаги из аудитории.

Условие

Инженерами была предложена следующая конструкция электромагнитной пушки. На непроводящей плоскости с углом наклона $\alpha$ к горизонту на расстоянии $h$ друг от друга закреплены два не имеющих сопротивления проводника, по которым на скользящих контактах может перемещаться подвижный проводник массой $m$ и сопротивлением $R$ (см. Рис.3). Между нижними концами проводников включен источник питания с э.д.с. $E$ и нулевым внутренним сопротивлением, а система помещена в магнитное поле с индукцией $B$ , перпендикулярное наклонной плоскости. Длина ребра плоскости равна $L$ , а в начальный момент времени подвижный проводник покоится вблизи источника тока.

a) Определите минимальное значение э.д.с. $E_{\min}$ , при котором проводник начинает движение вверх по плоскости. [1 т.]

b) При движении проводника по плоскости со временем устанавливается постоянная сила тока $I_0$ . Найдите ее, считая что э.д.с. $E > E_{\min}$ . [1 т.]

c) При перемещении проводника по плоскости со временем устанавливается постоянная скорость его движения $u_0$ . Найдите ее, считая что э.д.с. $E > E_{\min}$ . [2 т.]

d) При достаточно больших $L$ движение стержня перед отрывом можно считать установившимся. Тогда заряд $q$ , прошедший через источник питания выражается формулой

q = C_1 L + C_2.

Определите $C_1$ и $C_2$ . [3 т.]

e) В условиях предыдущего пункта количество теплоты $Q$ , выделившееся в проводнике к моменту отрыва, записывается в виде

Q = C_3 L + C_4

Определите $C_3$ и $C_4$ . [3 т.]

Наклонная плоскость с углом α; по ней вверх идут две параллельные шины на расстоянии h, внизу между ними источник E; поперёк шин лежит подвижный проводник m, R со скоростью u; вектор B перпендикулярен плоскости, g направлено вниз, длина ребра L показана штриховой стрелкой. — Рис.3 Схема электромагнитной пушки.

Примечание: В данной задаче Вы можете пренебречь трением и явлением самоиндукции.

Отговори

Решение

a) Силы, действующие на проводник изображены на рисунке 2. Это – сила тяжести $m\vec{g}$ , сила Ампера $\vec{F}_A$ и сила реакции со стороны плоскости $\vec{N}$ .

Наклонная плоскость с углом α; на ней брусок-проводник, к которому приложены сила тяжести mg (вниз), сила реакции N (перпендикулярно плоскости) и сила Ампера F_A (вдоль плоскости вверх); ось OX направлена вдоль плоскости. — Рисунок 2. Силы, действующие на подвижный проводник.

Уравнение движения (второй закон Ньютона) подвижного проводника в проекции на ось $OX$ имеет вид

ma = F_A - mg\sin\alpha. \qquad (2.1)

Сила Ампера вычисляется по формуле

F_A = BIh. \qquad (2.2)

В момент начала движения должно быть $a \ge 0$ и закон Ома дает

I = \frac{E_{\min}}{R}, \qquad (2.3)

откуда

E_{\min} = \frac{mgR\sin\alpha}{Bh}. \qquad (2.4)

b) Сила тока будет установившейся лишь в том случае, когда ускорение проводника будет равно нулю. Тогда из (2.1) и (2.2) получим

I_0 = \frac{mg\sin\alpha}{Bh}. \qquad (2.5)

c) Сила тока $I$ в подвижном проводнике определяется законом Ома

I = \frac{E + E_{ind}}{R}. \qquad (2.6)

Здесь $E_{ind}$ - это э.д.с. электромагнитной индукции, вызванная изменением магнитного потока и равная

E_{ind} = -\frac{d\Phi}{dt} = -B\frac{dS}{dt} = -Bh\frac{dx}{dt} = -Bhu, \qquad (2.7)

где $u$ - скорость движения подвижного стержня по плоскости. Из (2.6) и (2.7) получаем

I = \frac{E - Bhu}{R}. \qquad (2.8)

В установившемся режиме сила тока $I = I_0$ , тогда из (2.5) и (2.8) следует

u_0 = \frac{E}{Bh} - \frac{mgR\sin\alpha}{B^2h^2}. \qquad (2.9)

d) Из соотношений (2.1) и (2.2) следует

m\Delta u = BIh\Delta t - mg\Delta t\sin\alpha. \qquad (2.10)

Учитывая, что $\Delta q = I\Delta t$ , из (2.10) находим

mu_0 = Bhq - mg\tau\sin\alpha, \qquad (2.11)

где $\tau$ - время движения по плоскости.

Умножая (8) на $\Delta t$ и учитывая что $u = \Delta x/\Delta t$ , находим

\Delta q = \frac{E\Delta t - Bh\Delta x}{R} \qquad (2.12)

Из (2.12) получаем

q = \frac{E\tau - BhL}{R}. \qquad (2.13)

Из (2.11) и (2.13) находим

q = \frac{m(E^2Bh - mgER\sin\alpha + B^3h^3Lg\sin\alpha)}{B^2h^2(BEh - mgR\sin\alpha)}. \qquad (2.14)

Отсюда получается ответ

C_1 = \frac{mBhg\sin\alpha}{(BEh - mgR\sin\alpha)} \qquad C_2 = \frac{mE}{B^2h^2}.

e) Источник тока совершает работу

A = Eq, \qquad (2.15)

а проводник приобретает кинетическую энергию

E_{kin} = \frac{mu_0^2}{2} \qquad (2.16)

и потенциальную

E_{pot} = mgL\sin\alpha. \qquad (2.17)

Из закона сохранения энергии

A = E_{kin} + E_{pot} + Q, \qquad (2.18)

откуда

Q = \frac{mE(E^2Bh - mgER\sin\alpha + B^3h^3Lg\sin\alpha)}{B^2h^2(BEh - mgR\sin\alpha)} - mgL\sin\alpha - \frac{m}{2}\left(\frac{E}{Bh} - \frac{mgR\sin\alpha}{B^2h^2}\right)^2. \qquad (2.19)

Таким образом, получается ответ

C_3 = \frac{m^2g^2R\sin^2\alpha}{(BEh - mgR\sin\alpha)} \qquad C_4 = \frac{mE^2}{B^2h^2} - \frac{m}{2}\left(\frac{E}{Bh} - \frac{mgR\sin\alpha}{B^2h^2}\right)^2

Оригинал в Архива: IZhO-2008-Theory_rus_sf.doc · официални решения: IZhO-2008-Theory_rus_sol_sf.doc