Съдържание

IZhO 2008, Теория — Задача 3. Атом гелия

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от IZhO 2008

IV International Zhautykov Olympiad. Theoretical Competition. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР. 16 января 2008 года · 16 януари 2008 г. · 10 т.

Сначала, пожалуйста, прочитайте следующее:

Теоретический тур состоит из трех задач. Продолжительность тура 4 часа.
Пользуйтесь только той ручкой, которая Вам предоставлена.
Для расчетов Вы можете использовать свой калькулятор. Если своего у вас нет, тогда Вы можете попросить его у организаторов олимпиады.
Вам предоставлены чистые листы бумаги и Листы для записи (Writing sheets). Чистые листы бумаги предназначены для черновых записей, их Вы можете использовать по Вашему усмотрению, они не проверяются. На Writing sheets следует записывать решения задач, которые будут оценены при проверке работы. В решениях как можно меньше используйте словесные описания. В основном Вы должны использовать уравнения, цифры, буквенные обозначения, рисунки и графики.
Используйте только лицевую сторону Writing sheets. При записи не выходите за пределы отмеченной рамки.
Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы Writing sheets.
На каждом использованном Writing sheets, в отведенных для этого графах, необходимо указать Вашу страну (Country), Ваш код (Student Code), порядковый номер задачи (Question Number), текущий номер каждого листа (Page Number) и полное количество листов, использованных при решении всех задач (Total Number of Pages). Если Вы не хотите, чтобы некоторые использованные Writing sheets были включены в ответ, тогда перечеркните их большим крестом на весь лист и не включайте в Ваш подсчёт полного количества листов.
Когда Вы закончите тур, разложите все листы в следующем порядке:
- Пронумерованные по порядку Writing sheets;
- Черновые листы;
- Неиспользованные листы;
- Отпечатанные условия задачи
Положите все листы бумаги в конверт и оставьте на столе. Вам не разрешается выносить никакие листы бумаги из аудитории.

Условие

Атом гелия является простейшей многоэлектронной системой. Согласно планетарной модели атома он состоит из ядра с зарядом $+2e$ и двух электронов, которые двигаются вокруг него. Задача об атоме гелия в общем виде решается на основе квантовой механики, где учитывается тождественность (неразличимость) двух электронов. Это достаточно сложная задача. Однако, многие качественные сведения об атоме гелия можно получить не решая непосредственно квантовомеханическую задачу, а всего лишь применяя правила квантования Бора.

В этой задаче Вам предлагается качественно исследовать атом гелия. В дальнейшем во всех ниже перечисленных пунктах считайте, что электроны в атоме имеют минимальную возможную энергию (находятся в основном состоянии) и двигаются по одной круговой орбите радиуса $r$ . Согласно постулатам Бора орбитальный момент импульса каждого электрона равен целому числу постоянных Планка $\hbar$ .

а) Напишите соотношение, которому должны удовлетворять импульс $p$ и радиус орбиты $r$ каждого электрона для основного состояния атома гелия [1 т.]

b) Напишите выражение для потенциальной энергии системы как функцию $r$ [2 т.]

c) Определите выражение для радиуса орбиты электронов $r$ и найдите его численное значение [2 т.]

d) Определите выражение для полной энергии основного состояния атома гелия и найдите ее численное значение [1 т.]

e) Определите выражение для энергии однократной ионизации атома гелия и найдите ее численное значение [2 т.]

Атомы могут ионизироваться под действием внешнего давления. Такое явление происходит в центрах массивных планет.

f) Оцените давление, при котором произойдет ионизация атомов гелия [2 т.]

Численные данные:

Элементарный заряд	$e = 1.6022\cdot 10^{-19}$ Кл;
Масса электрона	$m_e = 0.911\cdot 10^{-30}$ кг;
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8.854\cdot 10^{-12}$ Ф/м;
Постоянная Планка	$\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1.055\cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Отговори

Решение

a) Согласно постулату Бора орбитальный момент импульса каждого электрона принимает следующий дискретный ряд значений

m_e\upsilon\cdot r = n\hbar, \text{ где } n = 1, 2, 3, \ldots

Для основного состояния $n = 1$ . Тогда

p\cdot r = \hbar

b) Потенциальная энергия системы состоит из энергии притяжения электронов с ядром и энергии отталкивания электронов между собой. Классически система может совершать вращательное движение по круговым орбитам только если электроны все время расположены по разные стороны от ядра. При этом система имеет потенциальную энергию

E_p = -\frac{1}{\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r} + \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r} = -\frac{7}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}

c) Второй закон Ньютона для каждого из электронов имеет вид:

m_e\frac{\upsilon^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{2e^2}{r^2} - \frac{e^2}{4r^2}\right)

С учетом квантования орбитального момента импульса из этого уравнения получим

r = \frac{16\pi\varepsilon_0}{7}\frac{\hbar^2}{m_e e^2}

Численное значение

r = 3{,}02\cdot 10^{-11}\ \text{м}

d) Полная энергия основного состояния атома гелия

E = E_k + E_p = 2\frac{p^2}{2m_e} - \frac{7}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}

С учетом квантования орбитального момента импульса и выражения для радиуса орбиты из предыдущего пункта имеем

E = -\left(\frac{7}{16\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{me^4}{\hbar^2}

Численное значение

E = -133{,}32\cdot 10^{-19}\ \text{Дж} = -83{,}3\ \text{эВ}

e) Однократно ионизированный атом гелия представляет собой водородоподобный атом с зарядом ядра $+2e$ . Его энергия определяется по следующей формуле

E_1 = -\frac{1}{8\pi^2\varepsilon_0^2}\frac{me^4}{\hbar^2} = -87{,}06\cdot 10^{-19}\ \text{Дж} = -54{,}4\ \text{эВ}

Тогда энергия однократной ионизации нейтрального атома гелия

E_{ion} = E_1 - E = 28{,}9\ \text{эВ}

f) Атомы ионизируются под действием внешнего давления, когда работа для изменения объема на величину порядка размера атома равна энергии ионизации. В качестве оценки это условие запишется как

E_{ion} \sim \frac{4\pi r^3}{3}p_{ion}

Численное значение давления порядка

p_{ion} \sim 10^{14}\ \text{Па}

Оригинал в Архива: IZhO-2008-Theory_rus_sf.doc · официални решения: IZhO-2008-Theory_rus_sol_sf.doc