IZhO 2010, Теория, руски — Задача 1

VI Международная Жаутыковская Олимпиада — ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР, 13 января 2010 года · 13 януари 2010 г.

Сначала, пожалуйста, прочитайте следующее:

  1. Теоретический тур состоит из трех задач. Продолжительность тура 4 часа.

  2. Пользуйтесь только той ручкой, которая Вам предоставлена.

  3. Для расчетов Вы можете использовать свой калькулятор. Если своего у Вас нет, тогда Вы можете попросить его у организаторов олимпиады.

  4. Вам предоставлены чистые листы бумаги и Листы для записи (Writing sheets). Чистые листы бумаги предназначены для черновых записей, их Вы можете использовать по Вашему усмотрению, они не проверяются. На Writing sheets следует записывать решения задач, которые будут оценены при проверке работы. В решениях как можно меньше используйте словесные описания. В основном Вы должны использовать уравнения, числа, буквенные обозначения, рисунки и графики.

  5. Используйте только лицевую сторону Writing sheets. При записи не выходите за пределы отмеченной рамки.

  6. Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы Writing sheets.

  7. На каждом использованном Writing sheets, в отведенных для этого графах, необходимо указать Вашу страну (Country), Ваш код (Student Code), порядковый номер задачи (Question Number), текущий номер каждого листа (Page Number) и полное количество листов, использованных при решении всех задач (Total Number of Pages). Если Вы не хотите, чтобы некоторые использованные Writing sheets были включены в ответ, тогда перечеркните их большим крестом на весь лист и не включайте в Ваш подсчёт полного количества листов.

  8. Когда Вы закончите работу, разложите все листы в следующем порядке:

    • Пронумерованные по порядку Writing sheets;
    • Черновые листы;
    • Неиспользованные листы;
    • Отпечатанные условия задачи

    Положите все листы бумаги в конверт и оставьте на столе. Вам не разрешается выносить никакие листы бумаги из аудитории.

Условие

Эта задача состоит из трех частей, не связанных друг с другом.

Горизонтальный стержень длиной l: левый конец закреплён шарниром на вертикальной опоре, свисающей с потолка, правый конец подвешен к потолку на вертикальной нити; снизу стрелкой обозначена длина l.

1А Один конец однородного твердого стержня массой mm и длиной ll подвешен к вертикальной опоре с помощью идеального шарнира, а второй подвешен на нити, так что стержень находится в горизонтальном положении. В некоторый момент времени нить перерезают. Найти силу реакции опоры в шарнире в зависимости от угла отклонения стержня от горизонтального положения. [3 т.]

1В Плотность слоя жидкости высотой HH, заполняющей полностью закрытый толстостенный цилиндрический сосуд, линейно уменьшается с высотой от ρmax⁡\rho_{\max} до малой величины, которую можно принять равной нулю. Над жидкостью находится тонкий слой насыщенного пара, давлением которого можно пренебречь по сравнению с гидростатическим давлением жидкости. Снизу в жидкость погружают перевернутую пробирку объемом V0V_0, масса MM которой сосредоточена возле горлышка, а длина значительно меньше HH. В пробирке находится газ, занимающий объем V1V_1, масса которого значительно меньше массы пробирки. Температура системы поддерживается постоянной. Может ли пробирка неподвижно зависнуть в сосуде? Если да, то при каких условиях и на какой высоте от дна? Будет ли ее положение равновесия устойчивым? Объем стенок пробирки мал по сравнению с V1V_1. [4 т.]

Закрытый цилиндрический сосуд, заполненный жидкостью высотой H (обозначена стрелкой справа); у дна перевёрнутая пробирка с газом объёмом V₁ (подпись V1).
Схема: под потолком источник света размерами c × b (подпись «источник света»), на высоте h над полом горизонтальная квадратная пластинка со стороной a (подпись «пластинка»), внизу пол (подпись «пол»); расстояние от пола до источника обозначено L.
Рис. 1
Вид тени на полу: тёмный прямоугольник (примерно от 9 до 21 по горизонтали и от 3 до 21 по вертикали), окружённый более светлым прямоугольником, который светлеет к краям; шкалы по осям от 0 до 30 по горизонтали и от 0 до 20 по вертикали.
Рис. 2

1C На потолке комнаты высотой L=3,0 мL = 3{,}0\ \text{м} расположен плоский матовый светильник, имеющий форму прямоугольника размерами c×bc \times b. Под светильником на высоте hh над полом горизонтально расположили непрозрачную квадратную пластинку со стороной a=10 смa = 10\ \text{см} (см. рис.1). На рис. 2 схематически изображен вид тени, отбрасываемой пластинкой на пол комнаты: тень состоит из темного прямоугольника, окруженного другим более светлым прямоугольником, причем при приближении к краям этого внешнего прямоугольника тень светлеет. Цена деления шкал на этом рисунке 1,0 см. Определите размеры источника света bb и cc, и высоту hh над полом, на которой расположена пластинка. Укажите ориентацию источника света по отношению к тени, отбрасываемой пластинкой. [3 т.]

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: IZhO-2010-Theory_rus_f.pdf