IZhO 2010, Теория, руски — Задача 3. Реликтовое излучение и космические лучи

VI Международная Жаутыковская Олимпиада — ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР, 13 января 2010 года · 13 януари 2010 г. · 10 т.

Сначала, пожалуйста, прочитайте следующее:

1. Теоретический тур состоит из трех задач. Продолжительность тура 4 часа.

2. Пользуйтесь только той ручкой, которая Вам предоставлена.

3. Для расчетов Вы можете использовать свой калькулятор. Если своего у Вас нет, тогда Вы можете попросить его у организаторов олимпиады.

4. Вам предоставлены чистые листы бумаги и Листы для записи (Writing sheets). Чистые листы бумаги предназначены для черновых записей, их Вы можете использовать по Вашему усмотрению, они не проверяются. На Writing sheets следует записывать решения задач, которые будут оценены при проверке работы. В решениях как можно меньше используйте словесные описания. В основном Вы должны использовать уравнения, числа, буквенные обозначения, рисунки и графики.

5. Используйте только лицевую сторону Writing sheets. При записи не выходите за пределы отмеченной рамки.

6. Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы Writing sheets.

7. На каждом использованном Writing sheets, в отведенных для этого графах, необходимо указать Вашу страну (Country), Ваш код (Student Code), порядковый номер задачи (Question Number), текущий номер каждого листа (Page Number) и полное количество листов, использованных при решении всех задач (Total Number of Pages). Если Вы не хотите, чтобы некоторые использованные Writing sheets были включены в ответ, тогда перечеркните их большим крестом на весь лист и не включайте в Ваш подсчёт полного количества листов.

8. Когда Вы закончите работу, разложите все листы в следующем порядке:

   • Пронумерованные по порядку Writing sheets;
   • Черновые листы;
   • Неиспользованные листы;
   • Отпечатанные условия задачи

   Положите все листы бумаги в конверт и оставьте на столе. Вам не разрешается выносить никакие листы бумаги из аудитории.

Условие

Согласно современной космологии, наша Вселенная наполнена электромагнитным излучением, оставшимся после Большого взрыва. Это излучение называется реликтовым. С хорошей точностью реликтовое излучение однородно и изотропно в системе отсчета, связанной с нашей Галактикой, которую в дальнейшем будем считать лабораторной системой отсчета, а распределение по частотам интенсивности этого излучения совпадает со спектром абсолютно черного тела при температуре $T = 2.7\ K$. Работы по открытию и исследованию свойств реликтового излучения отмечены Нобелевскими премиями по физике в 1978 и 2006 годах.

Реликтовые фотоны чрезвычайно многочисленны и поэтому могут влиять на имеющееся в Галактике излучение другой природы - космические лучи (КЛ). Считается, что КЛ образуются при взрывах звезд. КЛ состоят в основном из протонов, их энергия может превышать на много порядков энергии, доступные на земных ускорителях. Механизм генерации КЛ сверхвысоких энергий не вполне ясен, однако экспериментально наблюдаемое распределение по энергии КЛ ограничено сверху величиной $E_p^{max} = 10^{21}\ eV$. В данной задаче предполагается, что это ограничение обусловлено потерями энергии при взаимодействии протонов с реликтовым излучением. Протоны могут участвовать в комптоновском рассеянии

и вызвать реакцию

где $p$ - протон, $\gamma$ - реликтовый фотон, $\Delta$ - самый легкий по сравнению с нуклоном барион с массой покоя $m_\Delta = 1.232 \times 10^6\ eV/c^2$, который быстро распадается на пи-мезон $\pi^0$ и протон $p$. ($\Delta$-частица распадется также на $\pi^+$-мезон и нейтрон. Нейтрон довольно быстро превращается в протон за счет $\beta$-распада, поэтому явный учет этого канала реакции не имеет принципиального значения в данной задаче). За счет рождения $\Delta$-частицы вероятность взаимодействия протона с $\gamma$-квантом резко возрастает.

Цель данной задачи - определить верхнюю границу наблюдаемого энергетического спектра КЛ, предполагая, что реакция (2) является основным механизмом потерь энергии КЛ, и сравнить потери энергии протоном в реакциях (1) и (2).

В следующих заданиях энергию измерять в электрон-вольтах $eV$, а импульсы – в $eV/c$, где $c$ - скорость света в вакууме. Масса покоя протона $m_p = 938 \times 10^6 eV/c^2$, масса покоя пи-мезона $m_\pi = 140 \times 10^6 eV/c^2$. Постоянная Больцмана $k = 1.38 \times 10^{-23} \text{Дж} \cdot K^{-1}$.

1. Оцените наиболее вероятную энергию $E_\gamma$ и соответствующий импульс $p_\gamma$ реликтовых фотонов, учитывая, что они соответствуют излучению черного тела при температуре $T = 2.7\ K$. [0,5 т.]

В следующих заданиях предполагайте, что начальный фотон в реакциях (1) и (2) имеет найденные Вами значения энергии и импульса.

2. Масса покоя частицы $m$ связана с полной релятивистской энергией $E$ и импульсом $\vec p$ этой частицы в произвольной инерциальной системе отсчета соотношением $E^2/c^2 - \vec p^{\,2} = m^2c^2$. Здесь величина $mc^2$ не зависит от системы отсчета и является полной внутренней энергией частицы. Выразить полную внутреннюю энергию двух невзаимодействующих частиц с массами покоя $m_1,\ m_2$ (т.е. полную энергию в системе отсчета, в которой полный импульс физической системы равен нулю) через энергии $E_1,\ E_2$, и импульсы $\vec p_1,\ \vec p_2$ этих частиц в произвольной системе отсчета. [1 т.]

Для дальнейшего анализа может понадобиться релятивистский закон преобразования импульса и энергии частицы. При переходе из инерциальной системы отсчета $S$ в инерциальную систему $S'$, движущуюся относительно первой со скоростью $V_0$ вдоль положительного направления оси $Z$ ($OZ \upuparrows OZ$), импульс и энергия преобразуются так же как координаты пространственно-временной точки $(x, y, z, t) \to (x', y', z', t')$:

Здесь

3. Определите, при какой наименьшей энергии протона возможна реакция (2):

a) [2 балла] в системе центра масс протона и фотона $p + \gamma$ (то есть в системе отсчета, в которой суммарный импульс протона и фотона равен нулю);

b) [3 балла] в системе Галактики.

Исходя из полученных результатов, определите максимальную энергию протонов в спектре КЛ. [5 т.]

4. Предполагая, что в системе Галактики протон имеет максимальную энергию $E_p^{max}$ и сталкивается с летящим ему навстречу реликтовым фотоном, определите импульс $\pi^0$-мезона в реакции (2) в этой же системе отсчета для случая, когда вылетающие частицы движутся по или против направления начального импульса протона. Насколько при этом изменяется импульс протона? [1 т.]

5. Какова величина импульса вылетающего фотона в комптоновском рассеянии (1) при тех же условиях, что и в пункте 4? [1,5 т.]

6. Возможна ли реакция (2) с реликтовым излучением, если в системе Галактики начальные импульсы протона и фотона направлены в одну сторону? Если реакция возможна, то какова при этом должна быть минимальная величина начального импульса фотона в системе Галактики? [1 т.]

Решение

---

Оригинал в Архива: IZhO-2010-Theory_rus_f.pdf