Съдържание

Условие Отговори Решение

IZhO 2013, Теория, руски — Задача 2. Квадратная рамка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IZhO 2013

IX Международная Жаутыковская Олимпиада/Теоретический тур · 15 януари 2013 г. · 10 т.

Сначала, пожалуйста, прочитайте следующее:

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

15 января 2013 года

Теоретический тур состоит из трех задач. Продолжительность тура 4 часа.
Пользуйтесь только той ручкой, которая Вам предоставлена.
Для расчетов Вы можете использовать свой калькулятор. Если своего у Вас нет, тогда Вы можете попросить его у организаторов олимпиады.
Вам предоставлены чистые листы бумаги и Листы для записи (Writing sheets). Чистые листы бумаги предназначены для черновых записей, их Вы можете использовать по Вашему усмотрению, они не проверяются. На Writing sheets следует записывать решения задач, которые будут оценены при проверке работы. В решениях как можно меньше используйте словесные описания. В основном Вы должны использовать уравнения, числа, буквенные обозначения, рисунки и графики.
Используйте только лицевую сторону Writing sheets. При записи не выходите за пределы отмеченной рамки.
Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы Writing sheets.
На каждом использованном Writing sheets, в отведенных для этого графах, необходимо указать Вашу страну (Country), Ваш код (Student Code), порядковый номер задачи (Question Number), текущий номер каждого листа (Page Number) и полное количество листов, использованных при решении всех задач (Total Number of Pages). Если Вы не хотите, чтобы некоторые использованные Writing sheets были включены в ответ, тогда перечеркните их большим крестом на весь лист и не включайте в Ваш подсчёт полного количества листов.
Когда Вы закончите работу, разложите все листы в следующем порядке:
- Пронумерованные по порядку Writing sheets;
- Черновые листы;
- Неиспользованные листы;
- Отпечатанные условия задачи
Положите все листы бумаги в конверт и оставьте на столе. Вам не разрешается выносить никакие листы бумаги из аудитории.

Условие

Квадратная рамка со стороной $a = 10.0$ см помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B = 1.00\times 10^{-1}$ Тл, создаваемое постоянным магнитом. Полностью пренебрегайте краевыми эффектами, считая магнитное поле между полюсами магнита однородным и равным нулю снаружи. Для всех частей задачи считайте, что рамка массой $m = 5.00$ г в начальный момент времени находится в покое у края полюсов магнита, смотрите рисунок.

1. [0.2 балла] В вашем решении перерисуйте схематически этот рисунок и укажите, какой из полюсов магнита является северным $N$ , а какой южным $S$ . [0,2 т.]

Часть А

Два полюса магнита в виде кубов (верхний и нижний), между ними вертикальные линии поля со стрелками вниз, обозначенные B; квадратная рамка у края полюсов, к ней приложена горизонтальная сила F, направленная вправо.

Пусть рамка изготовлена из проводящего материала, имеет сопротивление $R = 1.00\times 10^{-2}$ Ом и пренебрежимо малую индуктивность. В момент времени $t = 0$ к рамке прикладывается постоянная сила $F = 1.00\times 10^{-4}$ Н, с помощью которой она вытягивается из магнитного поля.

2. [1.2 балла] Найдите аналитическую зависимость скорости рамки $v(t)$ от времени $t$ , считая, что рамка все время остается между полюсами магнита. Запишите ответ через $B, a, m, R$ и $t$ . [1,2 т.]

3. [0.8 балла] Запишите точное уравнение для определения времени $t_0$ нахождения рамки между полюсами магнита. Запишите ответ через $B, a, m, R$ и $t_0$ . Приближенно вычислите время $t_0$ . [0,8 т.]

4. [1.2 балла] Постройте график зависимости скорости рамки $v(t)$ от времени $t$ за интервал от 0 до 12 с. [1,2 т.]

5. [1.2 балла] Постройте график зависимости тока в рамке $I(t)$ от времени $t$ за интервал от 0 до 12 с. [1,2 т.]

Часть В

Пусть рамка изготовлена из сверхпроводящего материала, имеет индуктивность $L = 1.00\times 10^{-1}$ Гн, ту же массу и размеры. В момент времени $t = 0$ к рамке прикладывается постоянная сила $F$ , с помощью которой она вытягивается из магнитного поля.

6. [1.8 балла] Найдите минимальную силу $F_{\min}$ , при которой рамку удастся вытянуть из магнита. Выразите ваш ответ через $B, a, L$ и рассчитайте численное значение. [1,8 т.]

7. [0.6 балла] В условиях предыдущего пункта найдите минимальное время $t_0$ до максимального выдвижения рамки из магнита. Выразите ваш ответ через $m, B, a, L$ и рассчитайте численное значение. [0,6 т.]

8. [1.0 балла] Постройте график зависимости тока в рамке от времени за интервал времени от 0 до $4t_0$ . [1 т.]

Часть С

Квадратная рамка со стороной $a$ изготовлена из проводящего материала, имеет индуктивность $L$ , сопротивление $R$ и массу $m$ . В момент времени $t = 0$ рамке сообщают начальную скорость $v_0$ , направленную так же, как и сила на рисунке сверху. Известно, что в момент, когда рамка практически покидает магнит, ее скорость обращается в ноль.

9. [2.0 балла] Найдите аналитическое выражение для силы тока $I_0$ в рамке в момент времени, когда ее скорость обращается в ноль. Запишите ответ через $B, a, m, L, R$ и $v_0$ . [2 т.]

Отговори

Решение

В физике принято соглашение, что линии магнитного поля начинаются на северном полюсе, а заканчиваются на южном. Поэтому, рисунок должен выглядеть так

Тот же рисунок магнита: верхний полюс обозначен N, нижний — S; линии поля B направлены вниз, рамка вытягивается силой F вправо.

При вытаскивании рамки из постоянного магнитного поля в ней возникает э.д.с. индукции, которая определяется законом Фарадея

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(Bax) = Bav(t). \qquad (1)

По закону Ома

\varepsilon = IR, \qquad (2)

Откуда получаем связь между током и скоростью

I(t) = \frac{Bav(t)}{R}. \qquad (3)

На рамку будет действовать сила, которая будет стараться втянуть рамку обратно в магнитное поле магнитов, и равная по закону Ампера

F_A(t) = BaI(t) = \frac{B^2a^2v(t)}{R}. \qquad (4)

Таким образом, уравнение движения, являющееся вторым законом Ньютона, записывается в виде

m\frac{dv(t)}{dt} = F - \frac{B^2a^2v(t)}{R}. \qquad (5)

Решением уравнения (5) с начальным условием $v(0) = 0$ является функция

v(t) = \frac{FR}{B^2a^2}\left[1 - \exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right]. \qquad (6)

Интегрируя (6) по времени, получаем следующую зависимость

x(t) = \int_0^t v(t)dt = \frac{FR}{B^2a^2}\left[t + \frac{mR}{B^2a^2}\left(\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right) - 1\right)\right]. \qquad (7)

Условие выхода рамки за пределы магнита является равенство

x(t_0) = a, \qquad (8)

откуда получаем уравнение для $t_0$

t_0 + \frac{mR}{B^2a^2}\left[\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t_0\right) - 1\right] = \frac{B^2a^3}{FR}. \qquad (9)

Уравнение (9) является трансцендентным и не может быть решено аналитически. Для оценки времени воспользуемся тем, что за характерное время $\tau \sim mR/B^2a^2$ установится практически постоянная скорость $v_0 = FR/B^2a^2$ . Считаем, что в интервале времени от 0 до $\tau$ рамка движется практически с постоянным ускорением $w = F/m$ , а после этого рамка движется с постоянной скоростью $v_0$ . Тогда получаем

t_0 \sim \tau + \frac{a - \frac{wt^2}{2}}{v_0} = \frac{B^2a^3}{FR} + \frac{mR}{2B^2a^2} = 10.25\ \text{с}. \qquad (10)

Отметим, что численное решение уравнения (9) дает $t_0 \approx 10.5$ с.

После момента времени $t_0$ рамка продолжает двигаться с постоянным ускорением $w$ . При этом скорость должна быть непрерывной функцией времени, поэтому зависимость скорости от времени имеет вид

v(t) = \begin{cases} \frac{FR}{B^2a^2}\left[1 - \exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right], & t < t_0 \\ \frac{FR}{B^2a^2} + \frac{F}{m}(t - t_0), & t \ge t_0 \end{cases}. \qquad (11)

График зависимости имеет вид

График v(t): ось абсцисс t,s от 0 до 12, ось ординат v,m/a от 0.00 до 0.04. Скорость быстро растёт до 0.01 к t ≈ 2 с, остаётся постоянной до t ≈ 10.25 с, затем линейно растёт до ≈ 0.045 при t = 12 с.

Пока рамка находится внутри магнита, зависимость силы тока определяется уравнениями (3) и (6). После этого, сила тока в рамке обращается в нуль. Таким образом

I(t) = \begin{cases} \frac{F}{Ba}\left[1 - \exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right], & t < t_0 \\ 0, & t \ge t_0 \end{cases}. \qquad (12)

График зависимости имеет вид

График I(t): ось абсцисс t,s от 0 до 12, ось ординат I,A от 0.000 до 0.010. Ток быстро растёт до 0.010 к t ≈ 2 с, постоянен до t ≈ 10.25 с, затем скачком падает до 0.

Как и прежде, при вытаскивании рамки из постоянного магнитного поля в ней индуцируется э.д.с. индукции, которая определяется законом Фарадея (1). Помимо этого, действует э.д.с. самоиндукции сверхпроводящей рамки

\varepsilon_L = -L\frac{dI}{dt}. \qquad (13)

Так как сопротивление сверхпроводящей рамки равно нулю, то закон Ома для рамки примет вид

Bav(t) - L\frac{dI}{dt} = 0, \qquad (14)

откуда получаем, с учетом того, что $I = 0$ при $x = 0$ ,

I = \frac{Bax}{L}. \qquad (15)

Соответствующая сила Ампера дается выражением

F_A = BaI = \frac{B^2a^2x}{L}. \qquad (16)

Таким образом, уравнение движения, являющееся вторым законом Ньютона, записывается в виде

m\frac{d^2x}{dt^2} = F - \frac{B^2a^2}{L}x. \qquad (17)

Уравнение (17) представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой

\omega = \frac{Ba}{\sqrt{mL}} \qquad (18)

возле нового положения равновесия с координатой

x_0 = \frac{FL}{B^2a^2}. \qquad (19)

Очевидно, что сила $F$ будет минимальной, когда

x_0 = a/2, \qquad (20)

откуда

F_{\min} = \frac{B^2a^3}{2L} = 5.00\times 10^{-5}\ \text{Н}. \qquad (21)

В условиях предыдущего пункта, рамка достигает края магнита за половину периода, поэтому

t_0 = \frac{\pi}{\omega} = \pi\frac{\sqrt{mL}}{Ba} = 7.02\ \text{с}. \qquad (22)

Решением уравнения (17) с начальными условиями $x(0) = 0, x'(0) = 0$ является функция

x(t) = \frac{F_{\min}L}{B^2a^2}(1 - \cos\omega t) = \frac{a}{2}(1 - \cos\omega t). \qquad (23)

В соответствии с формулой (15) сила тока изменяется по закону

I(t) = \frac{Bax(t)}{L} = \frac{Ba^2}{2L}(1 - \cos\omega t). \qquad (24)

Соответствующий график зависимости имеет вид

График I(t): ось абсцисс t,s от 0 до 28, ось ординат I,A от 0.000 до 0.010. Ток колеблется по закону (1 − cos ωt) между 0 и 0.010, максимумы около 7 и 21 с, минимумы при 0, 14 и 28 с — два периода.

Закон Ома для рамки имеет вид

Bav - L\frac{dI}{dt} = IR, \qquad (25)

а ее уравнение движения записывается так

m\frac{dv}{dt} = -BIa. \qquad (26)

Уравнения (25) и (26) переписываются в конечных разностях следующим образом

Ba^2 - LI_0 = qR, \qquad (27)

mv_0 = Bqa, \qquad (28)

где $q$ — заряд, протекший по цепи.

Решая (27) и (28) совместно, получаем

I_0 = \frac{B^2a^3 - mv_0R}{aBL}. \qquad (29)

Схема оценивания

№	Содержание	баллы
1	Правильно поставленные северный $N$ и южный $S$ полюса	0.2	0.2
2	Формула (1)	0.2	1.2
	Формула (2)	0.2
	Формула (3)	0.2
	Формулы (4)	0.2
	Уравнение (5)	0.2
	Решение (6)	0.2
3	Формула (7)	0.2	0.8
	Формула (8)	0.2
	Уравнение (9)	0.2
	Численное значение $t_0$	0.2
4	Формула (11)	0.2	1.2
	График зависимости $v(t)$ : оси подписаны и оцифрованы	0.2
	График зависимости $v(t)$ : есть участок с постоянной скоростью	0.2
	График зависимости $v(t)$ : есть участок с постоянным ускорением	0.2
	График зависимости $v(t)$ : непрерывный	0.2
	График зависимости $v(t)$ : правильные числовые значения	0.2
5	Формула (12)	0.2	1.2
	График зависимости $I(t)$ : оси подписаны и оцифрованы	0.2
	График зависимости $I(t)$ : есть участок с постоянным током	0.2
	График зависимости $I(t)$ : есть участок с нулевым током	0.2
	График зависимости $I(t)$ : разрывный	0.2
	График зависимости $I(t)$ : правильные числовые значения	0.2
6	Формула (13)	0.2	1.8
	Уравнение (14)	0.2
	Соотношение (15)	0.2
	Квазиупругая сила (16)	0.2
	Уравнение движения (17)	0.2
	Положение равновесия (19)	0.2
	Условие (20)	0.2
	Формула (21) для силы $F_{\min}$	0.2
	Численное значение $F_{\min}$	0.2
7	Частота (18)	0.2	0.6
	Формула (22)	0.2
	Численное значение $t_0$	0.2
8	Формула (23)	0.2	1.0
	Формула (24)	0.2
	График зависимости $I(t)$ : оси подписаны и оцифрованы	0.2
	График зависимости $I(t)$ : два периода колебаний током	0.2
	График зависимости $I(t)$ : правильное значение амплитуды	0.2
9	Закон Ома (25)	0.2	2.0
	Уравнение движения (26)	0.2
	Формула (27)	0.7
	Формула (28)	0.7
	Выражение (29)	0.2
Итого			10,0

Оригинал в Архива: IZhO-2013-Theory_rus_final.pdf · официални решения: IZhO-2013-Theory_rus_sol_final.pdf