Съдържание

Условие Отговори Решение

IZhO 2013, Теория, руски — Задача 3. Модель атома водорода по Бору

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IZhO 2013

IX Международная Жаутыковская Олимпиада/Теоретический тур · 15 януари 2013 г. · 10 т.

Сначала, пожалуйста, прочитайте следующее:

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

15 января 2013 года

Теоретический тур состоит из трех задач. Продолжительность тура 4 часа.
Пользуйтесь только той ручкой, которая Вам предоставлена.
Для расчетов Вы можете использовать свой калькулятор. Если своего у Вас нет, тогда Вы можете попросить его у организаторов олимпиады.
Вам предоставлены чистые листы бумаги и Листы для записи (Writing sheets). Чистые листы бумаги предназначены для черновых записей, их Вы можете использовать по Вашему усмотрению, они не проверяются. На Writing sheets следует записывать решения задач, которые будут оценены при проверке работы. В решениях как можно меньше используйте словесные описания. В основном Вы должны использовать уравнения, числа, буквенные обозначения, рисунки и графики.
Используйте только лицевую сторону Writing sheets. При записи не выходите за пределы отмеченной рамки.
Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы Writing sheets.
На каждом использованном Writing sheets, в отведенных для этого графах, необходимо указать Вашу страну (Country), Ваш код (Student Code), порядковый номер задачи (Question Number), текущий номер каждого листа (Page Number) и полное количество листов, использованных при решении всех задач (Total Number of Pages). Если Вы не хотите, чтобы некоторые использованные Writing sheets были включены в ответ, тогда перечеркните их большим крестом на весь лист и не включайте в Ваш подсчёт полного количества листов.
Когда Вы закончите работу, разложите все листы в следующем порядке:
- Пронумерованные по порядку Writing sheets;
- Черновые листы;
- Неиспользованные листы;
- Отпечатанные условия задачи
Положите все листы бумаги в конверт и оставьте на столе. Вам не разрешается выносить никакие листы бумаги из аудитории.

Условие

Рассмотрим атом водорода, который состоит из протона, массу которого можно считать практически бесконечной, и электрона массой $m_e = 9.11\times 10^{-31}$ кг. При этом протон имеет положительный заряд $e = 1.61\times 10^{-19}$ Кл, а электрон – отрицательный заряд $-e$ , так что в целом атом нейтрален.

1. [2.0 балла] Известно, что большинство атомов стабильно и могут существовать продолжительное время. Это значит, что электрон не может находиться в состоянии покоя, иначе под действием силы притяжения он неминуемо упал бы на протон. Пусть расстояние между электроном и протоном равно $r_0 = 5.00\times 10^{-11}$ м. Считая применимыми законы классической физики, найдите время падения $t_1$ первоначально покоящегося электрона на протон. [2 т.]

Значит, для стабильности атома электрон должен двигаться вокруг протона так же, как планеты вращаются вокруг Солнца. Пусть орбита электрона круговая и законы классической физики по-прежнему применимы.

2. [1.0 балла] Найдите скорость движения электрона $v$ в зависимости от радиуса орбиты $r$ . [1 т.]

3. [0.5 балла] Найдите момент импульса движения электрона $L$ в зависимости от радиуса орбиты $r$ . [0,5 т.]

Датский физик Нильс Бор выдвинул постулат о том, что момент импульса электрона равен целому числу постоянных Планка $\hbar = 1.05\times 10^{-34}$ Дж∙с, то есть $L = n\hbar$ , где $n = 1, 2, 3...$ – главное квантовое число.

4. [0.5 балла] Найдите возможные радиусы орбит электрона $r_n$ в атоме водорода. [0,5 т.]

5. [0.5 балла] Рассчитайте численное значение минимального радиуса орбиты электрона $r_1$ в атоме водорода. [0,5 т.]

6. [1.0 балла] Найдите возможные значения полной энергии электрона $E_n$ в атоме водорода. [1 т.]

7. [0.5 балла] Рассчитайте численное значение минимального значения полной энергии электрона $E_1$ в атоме водорода. [0,5 т.]

Согласно классической электродинамике, если электрон движется с ускорением, то он теряет свою энергию на электромагнитное излучение. При этом мощность излучения определяется выражением

P = \frac{1}{6\pi\varepsilon_0}\frac{e^2a^2}{c^3},

где $a$ – ускорение электрона, $\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}$ Ф/м – электрическая постоянная, $c = 3.00\times 10^{8}$ м/c – скорость света в вакууме.

Электромагнитное излучение привело бы к тому, что в модели Бора электрон падал бы на протон. В дальнейшем считайте, что траектория электрона практически круговая.

8. [1.5 балла] Считая, что в момент времени $t = 0$ электрон находится на орбите радиусом $r_1$ , найдите зависимость радиуса траектории от времени $t$ . [1,5 т.]

9. [0.5 балла] Найдите и вычислите время падения электрона $\tau_1$ с орбиты радиусом $r_1$ на протон. [0,5 т.]

10. [2.0 балла] Сколько оборотов успевает сделать электрон вокруг протона за время падения $\tau_1$ ? [2 т.]

Отговори

Решение

Время падения электрона на протон можно найти по аналогии с третьим законом Кеплера. Рассмотрим круговую орбиту некоторого радиуса $R$ , тогда уравнение движения электрона запишется в виде

m_e\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2R = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{R^2}, \qquad (1)

где $T$ – период обращения по орбите.

Таким образом, третий закон Кеплера для движения электрона имеет вид

\frac{a^3}{T^2} = \frac{1}{16\pi^3\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_e}, \qquad (2)

где $a$ – большая полуось эллипса.

Рассмотрим падение электрона на протон как движение по очень вытянутому эллипсу с полуосью $a = r_0/2$ . Тогда время падения равно половине периода обращения электрона, поэтому

t_1 = \frac{T}{2} = \sqrt{\frac{\pi^3m_e\varepsilon_0r_0^3}{2e^2}} = 2.46\times 10^{-17}\ \text{с}. \qquad (3)

Для нахождения зависимости скорости электрона от радиуса орбиты снова воспользуемся вторым законом Ньютона, который теперь запишем в виде

m_e\frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}, \qquad (4)

откуда получаем

v = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_er}}, \qquad (5)

Момент импульса электрона находится из выражения (5)

L = m_evr = \sqrt{\frac{m_ere^2}{4\pi\varepsilon_0}}. \qquad (6)

Так как согласно постулату Бора момент импульса электрона квантуется, то есть $L = n\hbar$ , то из уравнения (6) получаем

r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0n^2\hbar^2}{m_ee^2}. \qquad (7)

Из уравнения (7) следует, что минимальному радиусу орбиты соответствует главное квантовое число $n = 1$ , откуда

r_1 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 5.19\times 10^{-11}\ \text{м}. \qquad (8)

Полная энергия электрона в атоме равна сумме кинетической и потенциальной энергий, которая с учетом (5) записывается в виде

E = \frac{m_ev^2}{2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}. \qquad (9)

Подставляя возможные значения радиусов орбит (7), немедленно получаем

E_n = -\frac{m_ee^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2n^2}. \qquad (10)

Из уравнения (10) следует, что минимальному значению полной энергии электрона соответствует главное квантовое число $n = 1$ , откуда

E_1 = -\frac{m_ee^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2} = -2.24\times 10^{-18}\ \text{Дж}. \qquad (11)

Полная энергия электрона (9) тратится на излучение электромагнитных волн, поэтому

\frac{dE}{dt} = -P. \qquad (12)

Отсюда получаем уравнение

r(t)^2\frac{dr(t)}{dt} = -\frac{e^4}{12\pi^2\varepsilon_0^2m_e^2c^3}. \qquad (13)

Решая уравнение (13) с начальным условием $r(0) = r_1$ , получаем

r(t) = \sqrt[3]{r_1^3 - \frac{e^4}{4\pi^2\varepsilon_0^2m_e^2c^3}t}. \qquad (14)

Время падения $\tau_1$ определяется из условия $r(t) = 0$ , откуда

\tau_1 = \frac{4\pi^2m_e^2\varepsilon_0^2c^3r_1^3}{e^4} = \frac{256\pi^5\varepsilon_0^5c^3\hbar^5}{m_ee^{10}} = 1.44\times 10^{-11}\ \text{с}. \qquad (15)

За малый интервал времени $dt$ электрон совершит поворот на угол $d\varphi$ , равный

d\varphi = \frac{v}{r}dt. \qquad (16)

Подставляя значение скорости из (5) и выражая $dt$ из (13), находим

d\varphi = -\frac{6c^3(\pi m_e\varepsilon_0)^{3/2}}{e^3}\sqrt{r}dr. \qquad (17)

Полный угол поворота $\varphi$ находится интегрированием от $r_1$ до нуля

\varphi = \int_{r_1}^{0}d\varphi = \int_0^{r_1}\frac{6c^3(\pi m_e\varepsilon_0)^{3/2}}{e^3}\sqrt{r}dr = \frac{4c^3(\pi m_e\varepsilon_0r_1)^{3/2}}{e^3} = \frac{32\pi^3\varepsilon_0^3c^3\hbar^3}{e^6}. \qquad (18)

Тогда полное число оборотов равно

N = \frac{\varphi}{2\pi} = \frac{16\pi^2\varepsilon_0^3c^3\hbar^3}{e^6} = 1.96\times 10^5. \qquad (19)

Схема оценивания

№	Содержание	баллы
1	Формула (1)	0.5	2.0
	Формула (2)	0.5
	Формула (3)	0.5
	Правильное численное значение $t_1$	0.5
2	Уравнение (4)	0.5	1,0
	Формула (5)	0.5
3	Формула (6)	0.5	0.5
4	Формула (7)	0.5	0.5
5	Правильное численное значение $r_1$	0.5	0.5
6	Формула (9)	0.5	1.0
	Формула (10)	0.5
7	Правильное численное значение $E_1$	0.5	0.5
8	Закон сохранения (12)	0.5	1.5
	Уравнение (13)	0.5
	Формула (14)	0.5
9	Правильное численное значение $\tau_1$	0.5	0.5
10	Формула (16)	0.5	2.0
	Формула (17)	0.5
	Формула (18)	0.5
	Правильное численное значение $N$	0.5
Итого			10,0

Оригинал в Архива: IZhO-2013-Theory_rus_final.pdf · официални решения: IZhO-2013-Theory_rus_sol_final.pdf