Съдържание

Условие Отговори Решение

МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 133. Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005 г.), 5.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

ЧАСТ 1

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

7 клас

Част 6. Астрономически тест

Част 6.

Астрономически тест

Във всеки от въпросите трябва да подредите четирите обекта А,В,С и D по реда на нарастване на параметъра, указан в условието.

Условие

Изкуствен спътник на Земята се върти около нашата планета по кръгова орбита, лежаща в плоскостта на еклиптиката. При наблюдение от Краснодар този спътник и точката на пролетното равноденствие винаги се издигат на хоризонта едновременно. В определено моменти спътникът се оказва на небето точно над точката юг. На каква височина над хоризонта е той в този момент? Какъв е радиусът на орбитата му? Рефракция и денонощен паралакс да не се отчитат.

Отговори

Решение

Във всяко място на Земята, освен полюсите, точката на пролетното равноденствие изгрява точно след едно звездно денонощие (около 23 часа 56 мин)от предшестващия изгрев. Следователно, изгревите на изкуствения спътник също са отделени във времето на едно звездно денонощие. Т.к. ние не отчитаме денонощното паралактично отместване на спътника, той винаги ще се намира на еклиптиката. На ширината на Краснодар (+ $45^{0}$ ) еклиптиката не може да съвпада с хоризонта и , явявайки се голям кръг от небесната сфера, пресича хоризонта в две противоположни точки. Едната от тях – възходящата в този момент – е точката на пролетното равноденствие, а втората – точка на есенното равноденствие. Така, в момента на своето изгряване, изкуственият спътник се е намирал в едната от тези две точки. След едно звездно денонощие спътникът ще изгрява в същата точка на небето. В противоположната точка на небето той не би изгрял, а би залязвал под хоризонта, т.к. във всеки момент от времето над хоризонта се разполага половината от неговата орбита.

Схема: хоризонтална линия „хоризонт“ с точка „изток“; през нея минава наклонена под $45^{\circ}$ спрямо хоризонта тънка „осмица“ (две удължени примки над и под хоризонта); размерът на осмицата е означен със стрелки „$23{,}4^{\circ}$“.

Очевидно, че спътникът, въртейки се около Земята, не може да бъде неподвижен спрямо звездите. Ще разгледаме случай, при които изкуственият спътник на Земята, един път изгрява и залязва под хоризонта, връщайки се в същата точка на небето след изминаването на едно звездно денонощие. Това, в частен случай може да бъде тогава когато периодът на въртене на спътника е равен на едно звездно денонощие, а посоката съвпада с посоката на въртене на Земята. Такава орбита прилича на геостационарна, но т.к. спътникът се върти не в плоскостта на екватора, а в плоскостта на еклиптиката, на земното небе той ще описва тънка „осмица” с размер около $47^{0}$ . Ако при това той се окаже в точката на пролетното равноденствие в момента на нейния изгрев, то и той ще изгрява в същия момент на изток след всяко звездно звездно денонощие (виж рисунката).

дадената картина противоречи на условието на задачата – от рисунката можем да се убедим, че спътникът ще се намира винаги в източната част на небето и никога няма да се окаже над южния хоризонт. Ние трябва да разгледаме още един възможен вариант, при който спътникът за едно денонощие прави един оборот по небето спрямо земния наблюдател, един път изгрявайки и залязвайки под хоризонта. Означаваме синодичния период на въртене на спътника чрез S, сидеричния (звезден) период на неговото въртене с Т, а продължителността на звездното денонощие с $T_{0}$ . Тези три величини са свързани със съотношението:

\pm\frac{1}{S}=\pm\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{0}}\ .

Знакът „+” пред величините (1/S) и (1/Т) съответства на въртене на спътника спрямо наблюдателя и спрямо центъра на Земята в посока, съвпадаща с посоката на въртене на Земята, а знак „-‘ съответства на противоположната посока. Т.к. величините S и $T_{0}$ са равни, знакът „-” пред величината (1/S) не може да бъде, в противен случай Т ще се превърне в безкрайност. Т.к. S е положителна, решението съществува само при една комбинация на знаците:

\frac{1}{S}=\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{0}}\ ,

От където получаваме, че сидеричния период на въртене на спътника Т е равен на половината звездно денонощие, т.е. 11часа 58 мин. Спътникът се върти в една посока със Земята, но с два пъти по-голяма ъглова скорост,затова той както и Фобос на Марс, ще изгрява от запад и залязва на изток. По време на своя изгрев спътникът ще се намира в точката на есенното равноденствие, която ще залязва в момента на западния хоризонт. Премествайки се от запад на изток, спътникът ще се движи срещу точката на пролетното равноденствие, изгряла едновременно с него в противоположната точка на небето (виж втората рисунка). 5 часа 59мин. След изгрева спътникът ще направи половин сидеричен период около Земята и ще се окаже в точката на пролетното равноденствие, която при това ще кулминира над южния хоризонт на височина $45^{0}$ . Получихме отговор на първия въпрос на задачата.

Небесна сфера с хоризонт (елипса) и точки „изток“, „запад“, „юг“, „север“; дъга на екватора/еклиптиката с означение ♈ (точката на пролетното равноденствие) и стрелка; вертикална отсечка с ъгъл $45^{\circ}$ над точка „юг“; дъга „спътник“ със стрелка към „запад“.

За отговора на втория въпрос е достатъчно да се използва III обобщен закон на Кеплер. Радиусът на орбитата е

R=\left(\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}\ ,

което е 26,6 хил.км (М е масата на Земята).

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

Част 1.

57-ма Московска астрономическа олимпиада (2003г.)

7 клас

Част 2. 58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

Част 2

58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

I ТУР

7 клас

Част 3. 59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 3.

59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

I тур

7 клас

Част 4. Допълнителни задачи

Част 4

Допълнителни задачи

Видимо движение на небесните тела

Решение 4.25 (без отпечатано условие)

4.25. Ако пренебрегнем наклона на орбитата на Венера към еклиптиката (което можем в повечето случаи да правим за всички конфигурации на тази планета, с изключение на долно съединение), то в деня на най-голяма източна елонгация Венера трябва да е на еклиптиката на $47^{0}$ от Слънцето, т.е. изпреварвайки във видимото движение с половин месец. Получава се , че Венера ще се окаже близо до точката на лятното слънцестоене, и нейната долна кулминация в точка север ще е на северния полярен кръг (ширина $66{,}5^{0}$ ). Звездното време в този момент ще е 18 часа, и еклиптиката ще съвпада с хоризонта. Слънцето, намиращо се на еклиптиката, надясно на $47^{0}$ от Венера (при наблюдение от северното полукълбо), ще изгрява над хоризонта от северо-изток.

Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 5.

Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 6. Астрономически тест - Отговори

Част 6

Астрономически тест - Отговори:

Препоръки при оценяване на теста

Препоръки при оценяване на теста:

Тестът може да се оценява по количеството правили отговори ( от 0 до 25), но може да се използва и по-сложен и обективен метод. Всеки правилен отговор в този случай се оценява с 8 точки, а за неправилен отговор се отнемат точки (6-N), където N e броя на единични размествания, необходими за получаване на правилен отговор. Под единично разместване се разбира промяната на местата на две съседни букви, за неточен отговор се отнемат от 0 точки (ако всички букви са написани в обратен ред) до 5 точки (сгрешени само две съседни букви). В случай на правилен отговор (N=0) участникът се награждава с две допълнителни точки, и оценката, както казахме е 8. максималната оценка за целия тест е 200 точки.

Пример: Правилен отговор – D, C, A, B, а участникът е дал отговор A, C, D, B. За получаване на правилен отговор трябват три единични премествания :

А, C, D, B – C, A, D, B – C, D, A, B – D, C, A, B.

Тогава, за дадения отговор трябва да извадим 3 точки. Подобна методика е сложна за ръчна проверка, но достатъчно лека за реализиране във вид на компютърна програма.

Част 7. Задачи от първите Московски астрономически олимпиади, 1 олимпиада (1947 г.), I тур

Част 7

Задачи от първите Московски астрономически олимпиади

1 олимпиада (1947 г.), I тур

Оригинал в Архива: 2003-2005.pdf