Съдържание

Условие Отговори Решение

МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 134. Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005 г.), 5.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

ЧАСТ 1

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

7 клас

Част 6. Астрономически тест

Част 6.

Астрономически тест

Във всеки от въпросите трябва да подредите четирите обекта А,В,С и D по реда на нарастване на параметъра, указан в условието.

Условие

Изкуствен спътник на Земята се върти около нашата планета по елиптична орбита, лежаща в плоскостта на еклиптиката. В перигея си е на същото разстояние от Земята, на което е и Луната. Оценете възможният максимален ексцентриситет на орбитата на спътника. Гравитационното влияние на Луната да не се отчита.

Отговори

Решение

Възможното значение за ексцентриситета на орбитата на спътника е ограничено отгоре от приливното влияние на Слънцето (влиянието на Луната, по условие в задачата, не се взема пред вид). Ако в точката апогей спътникът се приближи до вътрешна точка на Лагранж на системата Слънце –Земя, орбитата на спътника ще стане неустойчива и той ще премине на хелиоцентрична орбита, ставайки изкуствена планета в Слънчевата система. Ще разгледаме най-критичните за устойчивостта на орбитата случаи, когато в апогея спътникът се оказва между Слънцето и Земята (виж рисунката). Т.к. орбитата на спътника лежи в плоскостта на еклиптиката, то подобна ситуация се реализира задължително веднъж в годината.

Схема: вляво окръжност с точка „Слънце“ в центъра; права от Слънцето надясно до елипса (орбитата на спътника) около „Земя“ (кръгче с точка, посочено със стрелка); по правата между левия край на елипсата и Земята — отсечка a, между Земята и десния край — p; отдолу мащабна отсечка R от Слънцето до Земята.

Означаваме перихелийното и афелийното разстояние до спътника съответно с р и $a$ , а разстоянието от Слънцето до Земята – с R. Предполагаме, че в точката апогей спътникът се е оказал във вътрешна точка на лагранж. Тази точка може да се движи около Слънцето със същата ъглова скорост ω, както на Земята. Да запишем уравненията за въртене на точката на Лагранж и Земята:

\frac{GM}{(R-a)^{2}}-\frac{Gm}{a^{2}}=\omega^{2}(R-a)\ ;

\frac{GM}{R^{2}}=\omega^{2}R\ .

Отчитайки, че $a$ е значително по-малка от R, можем да запишем:

\frac{GM}{(R-a)^{2}}=\frac{GM}{R^{2}}+\frac{2GMa}{R^{3}}

Изразявайки величината ω от уравнението за въртене на Земята, получаваме

\frac{3GMa}{R^{3}}=\frac{Gm}{a^{2}}\ .

От последното съотношение получаваме оценка за максималното значение на апогейното разстояние

a=R\left(\frac{m}{3M}\right)^{1/3}=1{,}497\ \text{млн.км}

и ексцентрицитет на орбитата на спътника (отчетено е известното значение за р, равно на 384 хил.км

e=\frac{a-p}{a+p}=0{,}592\ .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

Част 1.

57-ма Московска астрономическа олимпиада (2003г.)

7 клас

Част 2. 58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

Част 2

58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

I ТУР

7 клас

Част 3. 59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 3.

59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

I тур

7 клас

Част 4. Допълнителни задачи

Част 4

Допълнителни задачи

Видимо движение на небесните тела

Решение 4.25 (без отпечатано условие)

4.25. Ако пренебрегнем наклона на орбитата на Венера към еклиптиката (което можем в повечето случаи да правим за всички конфигурации на тази планета, с изключение на долно съединение), то в деня на най-голяма източна елонгация Венера трябва да е на еклиптиката на $47^{0}$ от Слънцето, т.е. изпреварвайки във видимото движение с половин месец. Получава се , че Венера ще се окаже близо до точката на лятното слънцестоене, и нейната долна кулминация в точка север ще е на северния полярен кръг (ширина $66{,}5^{0}$ ). Звездното време в този момент ще е 18 часа, и еклиптиката ще съвпада с хоризонта. Слънцето, намиращо се на еклиптиката, надясно на $47^{0}$ от Венера (при наблюдение от северното полукълбо), ще изгрява над хоризонта от северо-изток.

Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 5.

Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 6. Астрономически тест - Отговори

Част 6

Астрономически тест - Отговори:

Препоръки при оценяване на теста

Препоръки при оценяване на теста:

Тестът може да се оценява по количеството правили отговори ( от 0 до 25), но може да се използва и по-сложен и обективен метод. Всеки правилен отговор в този случай се оценява с 8 точки, а за неправилен отговор се отнемат точки (6-N), където N e броя на единични размествания, необходими за получаване на правилен отговор. Под единично разместване се разбира промяната на местата на две съседни букви, за неточен отговор се отнемат от 0 точки (ако всички букви са написани в обратен ред) до 5 точки (сгрешени само две съседни букви). В случай на правилен отговор (N=0) участникът се награждава с две допълнителни точки, и оценката, както казахме е 8. максималната оценка за целия тест е 200 точки.

Пример: Правилен отговор – D, C, A, B, а участникът е дал отговор A, C, D, B. За получаване на правилен отговор трябват три единични премествания :

А, C, D, B – C, A, D, B – C, D, A, B – D, C, A, B.

Тогава, за дадения отговор трябва да извадим 3 точки. Подобна методика е сложна за ръчна проверка, но достатъчно лека за реализиране във вид на компютърна програма.

Част 7. Задачи от първите Московски астрономически олимпиади, 1 олимпиада (1947 г.), I тур

Част 7

Задачи от първите Московски астрономически олимпиади

1 олимпиада (1947 г.), I тур

Оригинал в Архива: 2003-2005.pdf