МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 135. Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005 г.), 5.3

• Сериите покрития се повтарят през 9,3 год.; в серия 18 или 19 покрития за 1,27 или 1,35 год.; първото се вижда близо до Южния полярен кръг, последното — близо до Северния полярен кръг.

Ако Луната се въртеше около Земята точно в плоскостта на еклиптиката, то тя би покривала звездата в точката на лятното слънцестоене при всеки свой оборот около Земята, при това покритието би било видно в екваториалните и северно-тропичните пояси на нашата планета. В действителност плоскостта на орбитата на Луната е наклонена към плоскостта на еклиптиката на ъгъл I, равен на $5{,}15^{0}$, което се оказва достатъчно, щото в повечето случаи Луната да преминава по небето по-високо или по-ниско от звездата, и покритие няма да настъпи. За да се случи това, Луната преминавайки покрай звездата трябва да се намира в близост до един от двата възела на своята орбита, в които тя пресича плоскостта на еклиптиката.

Сидеричният (звезден) период на въртене на Луната $T_{S}$ съставлява 27,321662 денонощия, а драконичният период $T_{D}$ (периодът на преминаване през същия възел) е малко по-кратък – 27,212221 денонощия. Завършвайки своето завъртане спрямо звездите, Луната ще направи 1,00402 драконически оборота, и ако едното покритие е било точно във възходящия възел на лунната орбита, то следващото ще е след преминаване на този възел, при това Луната ще се окаже малко по-високо, и областта на видимост на покритието от Земята ще се премести на север (виж рисунката).

Ъгловото разстояние между Луната и възела на орбитата ще е:

Отмествайки се на такава величина всеки сидеричен месец, линията на възлите на лунната орбита ще направи пълен оборот за 248,65 сидерични месеца, т.е. за 18,6 год. За този период ще настъпят две епохи на покрития на звездата от Луната в близост до еклиптиката – по време на преминаване на възходящия и низходящия възел на орбитата близо до звездата. За звезда, намираща се точно на еклиптиката, тези серии ще са на 9,3 год. Една след друга. За това е необходимо да определим, на какво максимално отдалечаване от възела на орбитата на Луната може да се случи покритие.

На втората рисунка е показана пределната ситуация, при която допирателното покритие на звездата от Луната се вижда само от една точка на Земята. Максималното ъглово разстояние на Луната от еклиптиката в този случай е

Тук, от условието следва, приемаме орбитата на Луната за кръгова с радиус d, равен на 384,4 хил.км, R и r – радиуси на Земята и Луната. Връщайки се към първата рисунка, изчисляваме максималното разстояние от Луната до възела на орбитата по време на покритието:

Средния брой покрития в една серия, както се вижда от първата рисунка, ще е:

Реалният брой покрития например с еднаква вероятност може да са 18 или 19. Продължителността на серията има 17 или 18 сидерични периода на въртене на Луната, т.е. 1,27 или 1,35 год.

Първото покритие на звездата от Луната в случай близо до възходящ възел ще стане близо до положение 1 на първата рисунка, същата ситуация е изобразена на втората рисунка. Луната ще закачи звездата със северния си край, и това покритие ще се вижда от южното полукълбо на Земята. Луната ще се намира на северния хоризонт (по-точно на $5{,}15^{0}$ хоризонта на запад от точката север), деклинацията на звездата δ е $+23{,}4^{0}$, и покритието ще се наблюдава близо до Южния полярен кръг. Последното покритие в серията (положение 2 на първата рисунка) ще се вижда близо до северния полярен кръг на $5{,}15^{0}$ на изток от точката север по хоризонта.