МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 139. Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005 г.), 5.7

• На 21 март; ексцентриситет на орбитата $e=0{,}75$ (хелиоцентрична скорост 39,4 km/s).

Т.к. двата метеорни роя се движат по една и съща орбита в различни посоки, то в момента на тяхната среща те ще имат хелиоцентрични скорости, равни по величина и противоположни по посока. Радиантът на метеорния поток указва посоката, противоположна на геоцентричната скорост на метеорите, затова радиантите на двата потока не се оказват в противоположни точки на небето.

Означаваме вектора на скоростта на Земята с $v_{0}$, вектора на хелиоцентричните скорости на метеорните потоци $v_{1}$ и $v_{2}$ , а векторите те на техните геоцентрични скорости с $u_{1}$ $u_{2}$. За тези вектори е справедливо: $u_{1}=v_{1}-v_{0}\ ,$

Събираме ги и получаваме: $u_{1}+u_{2}=-2v_{0}$.

Радиантът на първия метеорен поток се намира в южния полюс на еклиптиката, следователно, плоскостта на рисунката, съдържаща $u_{1}$, е перпендикулярна на плоскостта на еклиптиката, пресичайки я по права, съдържаща вектора $v_{0}$ . Двата вектора са перпендикулярни на радиус-вектора на Земята, идващ от центъра на Слънцето, и цялата картинна плоскост, в това число и хелиоцентричните скорости на метеорите, са перпендикулярни на линията Земя-Слънце. Следователно, в момент на срещата със Земята метеорите са се намирали в точката перихелий или афелий от своята орбита, ако орбитата не е кръгова.

Точка от еклиптиката, в посока на която се движи Земята в момента на срещата с метеорите – това е едната от двете точки на пресичане на големия кръг на еклиптиката с големия кръг на картинната плоскост. Последният кръг – това е кръг на деклинацията, обхващащ всички точки на небето ректасцензия 6ч. и 18ч. (в това можем да се убедим по координатите на радиантите на метеорния поток). Следователно – двете точки на пресичане на големите кръгове са точките на слънцестоене. От последното векторно уравнение следва, че проекциите на векторите $u_{2}$ и $v_{0}$ на еклиптиката имат противоположни знаци (т.к. векторът $u_{1}$ е перпендикулярен на еклиптиката). Като отчетем координатите на втория радиант ще направим извод, че движението на Земята е насочено в точката на слънцестоене, по-близка до радианта на втория поток – т.е. в точката на зимното слънцестоене. Такава посока на скоростта Земята има в деня на пролетното равноденствие – 21 март. Остава да отговорим на първия въпрос на задачата.

Ъгълът между посоката на втория радиант (небесния екватор) и скоростта на движение на Земята е $23{,}4^{0}$. Проектираме векторния израз за сумата от скоростите $u_{1}$ и $u_{2}$ на двете координатни оси и получаваме: $u_{1}=u_{2}\sin\varepsilon$ ,

И по-нататък: $u_{1}=2v_{0}\,tg\,\varepsilon$ .

Хелиоцентричната скорост на метеорите в момента на срещата със Земята е:

Тази скорост превишава кръговата скорост $v_{0}$, но не надвишава втора космическа скорост. По такъв начин, орбитата на метеорите е елиптична, и те се намират в точката перихелий. Означаваме разстоянието от Слънцето до Земята с r и записваме израза за скоростта на тялото в перихелий:

Тук а е голямата полуос на орбитата на метеорните тела, е – нейния ексцентриситет, М – масата на Слънцето. В резултат: $e=4tg^{2}\varepsilon=0{,}75$ .