МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 76. ЧАСТ 3. 59 МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2005г.), II тур, 8-9 клас, 3.22

• Ширина на мястото и наклон на орбитата $\pm 40{,}65^{0}$ (едно преминаване през зенита в денонощие) или на екватора с наклон $\pm 81{,}3^{0}$ (две преминавания).

Центърът на кръговата орбита на спътника се намира в центъра на Земята. Ако в някой пункт на Земята спътникът се окаже в зенита, то противоположната точка от орбитата на спътника попада в надира. Но спътникът редовно преминава през зенита, но никога не достига надира, дори повече – изобщо не залязва. това може да бъде само когато спътникът се върти синхронно с въртенето на Земята, т.е. периодът на спътника T е равен на едно звездно денонощие (около 23ч.56мин.). Радиусът на тази орбита е:

което е 42,16 хил.км ( тук M е масата на Земята). Размерите на орбитата на спътника са близки до геостационарна орбита, като се различава съществено по наклона на орбитата към екватора. Ще изчислим големината на този наклон, а също и ширината на мястото на наблюдение. Ще решим първо задачата в приближен вид, пренебрегвайки паралактичното отместване на спътника (по този начин считаме размерите на Земята много по-малко от орбитата на спътника).

След едно денонощие спътникът се връща в същата точка на небето. Да предположим, че за това време той веднъж е попаднал в зенита и един път се е спуснал до хоризонта. Когато спътникът е бил в зенита, деклинацията му е била $\varphi$ , географската ширина на мястото на наблюдение. След 12 часа спътникът е имал деклинация $-\varphi$ . Правейки заедно със Земята половин оборот, той отново се е намирал на небесния меридиан и едновременно с това на хоризонта. От тук можем да направим извод, че ширината на точката на наблюдение е била $\pm 45^{0}$ . Наклонът на орбитата на спътника към екватора не може да бъде повече от $45^{0}$, но не може да бъде и по-малко, т.к. в този случай спътникът би се спуснал под хоризонта,

Възможна е обаче и друга ситуация, при която спътникът ще преминава през зенита два пъти в денонощие и два пъти ще се спуска в противоположни посоки до хоризонта. Такава ситуация се реализира на екватора при наклон на орбитата на спътника към екватора под прав ъгъл. В двата случая спътникът ще се допира до хоризонта на небесния меридиан, в точките север или юг.

Ще коригираме сега получените решения, като отчетем паралактичното отместване на спътника. То не влияе на неговото положение, когато се намира в зенита, но съществено намалява неговата височина в близост до хоризонта. Спътникът ще се окаже под хоризонта, когато неговата височина без отчитане на паралакса бъде:

където r е радиусът на Земята. При това азимутът не се променя и той си остава на небесния меридиан. Затова нашата задача се свежда до решената по-горе, само най-малката височина на спътника не е нула, е равна на ъгъл α. Това условие се удовлетворява на ширина на мястото и наклон на спътника равни на:

за случай когато има само едно преминаване през зенита в денонощие. Две преминавания през зенита в денонощие има пак само на екватора, но наклонът на орбитата ще е: