Съдържание

Условие Отговори Решение

МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 91. ДОПЪЛНИТЕЛНИ ЗАДАЧИ, Атмосфера на Земята и планетите, 4.10

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

ЧАСТ 1

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

7 клас

Част 6. Астрономически тест

Част 6.

Астрономически тест

Във всеки от въпросите трябва да подредите четирите обекта А,В,С и D по реда на нарастване на параметъра, указан в условието.

Условие

Определете на каква дълбочина се спуска под хоризонта Слънцето, когато се виждат сребристи облаци над Слънцето на височина $10^{0}$ над хоризонта. В кои дати тези облаци могат да се наблюдават през цялата нощ на ширината на Москва? Приемете височината на облаците 83км, а рефракцията да се пренебрегне.

Отговори

Решение

Сребристите облаци – това са най-високите облаци на Земята, образуващи се в областта на последния минимум в мезосферата (през летните месеци температурата там пада до $-90^{0}$ C). Ще считаме, че сребристите облаци се виждат винаги, когато се осветяват от Слънцето (в действителност поглъщането в атмосферата внася допълнителни ограничения). На рисунката е изобразена пределна ситуация, когато облаците, намиращи се в т.N, се осветяват от допирателните лъчи на Слънцето.

Наблюдателят се намира в т.О.

От правоъгълния триъгълник ASC се вижда, че дълбочината на потъване на Слънцето под хоризонта γ в точка О е равна на сумата на геометричните ъгли α и β. За триъгълника ONC можем да запишем синусова и косинусова теорема:

\frac{h}{\sin\alpha}=\frac{r+H}{\sin(90^{0}+h)}=\frac{R+H}{\cosh}\ ,

x^{2}=R^{2}+(R+H)^{2}-2\mathrm{R}(R+H)\cos\alpha\ .

Тук R е радиус на Земята, H – височина на сребристите облаци, h – ъгловата им височина над хоризонта. Повдигайки на квадрат първото уравнение и заменяйки $\sin^{2}\alpha$ с $(1-\cos^{2}\alpha)$ , получаваме квадратното уравнение за косинус на ъгъл α:

\frac{(R+H)^{2}}{\cos^{2}h}\cos^{2}\alpha-2\mathrm{R}(R+H)\cos\alpha+R^{2}+(R+H)^{2}-\frac{(R+H)^{2}}{\cos^{2}h}=0\ .

Геометрична схема: от центъра на Земята C излизат радиуси към точките O (наблюдателя) и S (допирната точка на слънчевия лъч), и лъч през N; ъгли α и β при C; над O — точка A; хоризонтът от O към N с ъгъл h; отсечка x от O до N, височина H; в A — ъгъл γ; прав ъгъл при S и стрелка „Слънце“; надписи „Земя“ и R.

След преобразувания на свободния член на уравнението получаваме израз за дискриминантата:

D=4(R+H)^{2}tg^{2}h\left(\frac{(R+H)^{2}}{\cos^{2}h}-R^{2}\right)\ .

Уравнението има две решения:

\alpha=\arccos\frac{R\cos^{2}h\pm\sqrt{(R+H)^{2}\sin^{2}h-R\sin^{2}h\cos^{2}h}}{R+H}\ .

Физически смисъл има само решението със знак „+”, второто решение съответства на продължението на отсечката NO под хоризонта с последващ изход в атмосферата на Земята. Замествайки числените значения, получаваме, че ъгъл $\alpha=3{,}6^{0}$ . Ъгъл β се изчислява значително по-лесно:

\beta=\arccos\frac{R}{R+H}=9{,}2^{0}\ .

В заключение - сребристите облаци са видими на дадена височина над хоризонта, докато потъването на Слънцето под хоризонта достигне $12{,}8^{0}$ . На ширината на Москва ( $+55{,}7^{0}$ ) Слънцето не се спуска по-дълбоко от даденото ниво, ако деклинацията му е по-голяма от $+21{,}5^{0}$ , т.е. от последните дни на май до средата на юли.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

Част 1.

57-ма Московска астрономическа олимпиада (2003г.)

7 клас

Част 2. 58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

Част 2

58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

I ТУР

7 клас

Част 3. 59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 3.

59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

I тур

7 клас

Част 4. Допълнителни задачи

Част 4

Допълнителни задачи

Видимо движение на небесните тела

Решение 4.25 (без отпечатано условие)

4.25. Ако пренебрегнем наклона на орбитата на Венера към еклиптиката (което можем в повечето случаи да правим за всички конфигурации на тази планета, с изключение на долно съединение), то в деня на най-голяма източна елонгация Венера трябва да е на еклиптиката на $47^{0}$ от Слънцето, т.е. изпреварвайки във видимото движение с половин месец. Получава се , че Венера ще се окаже близо до точката на лятното слънцестоене, и нейната долна кулминация в точка север ще е на северния полярен кръг (ширина $66{,}5^{0}$ ). Звездното време в този момент ще е 18 часа, и еклиптиката ще съвпада с хоризонта. Слънцето, намиращо се на еклиптиката, надясно на $47^{0}$ от Венера (при наблюдение от северното полукълбо), ще изгрява над хоризонта от северо-изток.

Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 5.

Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 6. Астрономически тест - Отговори

Част 6

Астрономически тест - Отговори:

Препоръки при оценяване на теста

Препоръки при оценяване на теста:

Тестът може да се оценява по количеството правили отговори ( от 0 до 25), но може да се използва и по-сложен и обективен метод. Всеки правилен отговор в този случай се оценява с 8 точки, а за неправилен отговор се отнемат точки (6-N), където N e броя на единични размествания, необходими за получаване на правилен отговор. Под единично разместване се разбира промяната на местата на две съседни букви, за неточен отговор се отнемат от 0 точки (ако всички букви са написани в обратен ред) до 5 точки (сгрешени само две съседни букви). В случай на правилен отговор (N=0) участникът се награждава с две допълнителни точки, и оценката, както казахме е 8. максималната оценка за целия тест е 200 точки.

Пример: Правилен отговор – D, C, A, B, а участникът е дал отговор A, C, D, B. За получаване на правилен отговор трябват три единични премествания :

А, C, D, B – C, A, D, B – C, D, A, B – D, C, A, B.

Тогава, за дадения отговор трябва да извадим 3 точки. Подобна методика е сложна за ръчна проверка, но достатъчно лека за реализиране във вид на компютърна програма.

Част 7. Задачи от първите Московски астрономически олимпиади, 1 олимпиада (1947 г.), I тур

Част 7

Задачи от първите Московски астрономически олимпиади

1 олимпиада (1947 г.), I тур

Оригинал в Архива: 2003-2005.pdf