Съдържание

МАО 2022, Теория, 11. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2022

76-Я МОСКОВСКАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 2022 г. 11 КЛАСС · 8 т.

Условие

Протоны космических лучей при столкновении с атомами земной атмосферы на высоте $h = 5$ км рождают мюоны (элементарные частицы с временем жизни $\tau = 2 \times 10^{-6}$ с в собственной системе отсчета), которые регистрируются детекторами на поверхности Земли. Пусть все родившиеся мюоны летят вертикально вниз. Определить скорость мюонов, если их концентрация на поверхности Земли в 4 раза меньше, чем в месте их рождения. Поглощение мюонов в атмосфере не учитывать.

Отговори

Решение

Решение

Из-за распада концентрация мюонов уменьшается со временем в соответствии с формулой

n = n_0 e^{-t/\tau}.

Значит в системе отсчета, связанной с мюонами, с момента их образования и до регистрации прошло время

\Delta t' = \tau \ln\frac{n_0}{n} = \tau \ln 4 \approx 1.4\tau = 2.8 \times 10^{-6}\ \text{с}.

Необходимо, чтобы за это время мюоны добрались до поверхности Земли. Чтобы преодолеть расстояние в 5 км за 2.8 мкс, мюонам нужно обладать скоростью $5 \times 10^{3}\ \text{м}/2.8 \times 10^{-6}\ \text{с} \approx 1.710^{9}$ м/с, что в 6 раз больше скорости света. Значит для решения задачи надо применять специальную теорию относительности.

Поскольку мюоны движутся быстро, то для них действует лоренцево замедление времени. То есть, для стороннего наблюдателя распад мюонов произошел за время

\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}.

С другой стороны для стороннего наблюдателя $\Delta t = h/v$ . Тогда

\Delta t' = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\frac{h}{v};

\Delta t'^2 = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\frac{h^2}{v^2} = \frac{h^2}{v^2} - \frac{h^2}{c^2};

v = \frac{c}{\sqrt{1 + \frac{c^2 \Delta t'^2}{h^2}}} \approx 0.986c \approx 296000\ \text{км/с}.

Критерии проверки

Формула радиоактивного распада 1 балл
Правильное понимание термина «время жизни частицы» (не период полураспада) 1 балл
Вычисление времени полета в собственной системе координат 1 балл
Формула лоренцева замедления времени 2 балла
Вывод формулы для вычисления $v$ 2 балла
Вычисление ответа 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов

(Е. Н. Фадеев)

Оригинал в Архива: mos_astro_2022_teor_11_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2022_teor_11_ans.pdf