МАО 2022, Теория, 11. клас — Задача 6

• 11.72 мм

Решение

Глаз человека с нормальным зрением в расслабленном состоянии сфокусирован на бесконечность. При необходимости он может быт сфокусирован на более близкие объекты, находящиеся на расстоянии вплоть до 10 см (по условию). Это дальняя и ближняя границы ясного зрения. У близорукого человека обе эти границы находятся ближе к наблюдателю, а у дальнозоркого — дальше. То есть глаз дальнозоркого человека в расслабленном состоянии строит изображение бесконечно далеких объектов за сетчаткой, но может быть сфокусирован на бесконечность. По мере усиления дальнозоркости ближняя граница ясного зрения удаляется от наблюдателя и в какой-то момент глаз теряет возможность строить изображение далеких объектов. Проверим, не происходит ли такого в условиях задачи.

Нужно узнать, существуют ли точки, расположенные на расстоянии от 10 см до бесконечности от глаза, изображение которых в линзе очков дает глазу параллельный пучок. Если да, то наш дальнозоркий глаз сможет его сфокусировать. Фокусное расстояние линзы на +10 дптр – 10 см. А значит фокус её находится в 12 см от глаза. Изображение точки, находящейся в фокусе линзы как раз даст нам нужный параллельный пучок, и наш подопытный глаз сможет его сфокусировать. Несложно показать, что в случае чисел из задачи необходима дальнозоркость в 12.5 дптр, что бы не видеть на бесконечности. Понятно, что реальная ситуация может сильно зависеть от механизма возникновения дальнозоркости, и для участников выполнение этой проверки не обязательно для получения полного балла.

Таким образом, мы показали, что дальнозоркий человек может пользоваться биноклем без дополнительной доработки.

При фокусировке бинокля на бесконечность человеком с нормальным зрением фокус окуляра и фокус объектива совпадают, а каждому параллельному пучку света, попадающему в объектив, соответствует также параллельный пучок света, выходящий из окуляра. В случае близорукости из окуляра телескопа должен выходить расходящийся пучок, как будто астроном видит близкий к нему объект. Рассчитаем максимальное расстояние, на котором наблюдатель с близорукостью видит объекты четко. Воспользуемся тем, что очки должны строить изображение бесконечно удаленных объектов именно на таком расстоянии от глаза. Фокусное расстояние линзы $-10$ дптр составляет 10 см, а значит, искомое изображение должно быть на расстоянии 12 см от глаза.

Теперь посчитаем насколько нужно сместить окуляр, что бы получить изображение фокальной плоскости в нужном месте. Для точного расчёта необходимо одновременно варьировать расстояние от линзы до глаза, учитывая, что глаз расположен ровно в выходном зрачке. Нарисуем схему происходящего.

Здесь $F = 200$ мм — фокусное расстояние объектива бинокля, $f = F/\Gamma = 20$ мм — фокусное расстояние его окуляра, $\Gamma$ — увеличение, $x$ — необходимое смещение окуляра. Для определенности будем считать, что $x$ положительно при приближении окуляра к глазу.

Далее применяем формулу тонкой линзы для собирающей линзы:

где $a$ и $b$ — расстояния от линзы до объекта и изображения. Сначала найдём расстояние от глаза до окуляра. Он должен быть в выходном зрачке, а это плоскость в которой находится построенное окуляром изображение объектива. Расстояние от объектива до окуляра в нашем случае $F + f + x$, а значит искомое расстояние глаз – окуляр:

Объектив в своей фокальной плоскости строит изображение, которое наблюдатель рассматривает в окуляр. То есть, окуляр строит изображение изображения, которое располагается на расстоянии $D_{img}$ от окуляра:

Тут необходимо понять, с какой стороны от линзы должно быть расположено это изображение и знак выражения полученного выше. Изображение должно находиться на расстоянии 12 см от глаза, то есть между объективом и окуляром, а значит, с той же стороны от линзы, что и источник этого изображения — фокальная плоскость. Это значит, что $D_{img} < 0$. Иными словами, собирающая линза окуляра выдаст необходимый глазу расходящийся пучок, если объект находится ближе её фокусного расстояния, то есть $x < 0$, откуда следует, что $D_{img} < 0$.

Получаем уравнение для нахождения $x$:

Второй корень, примерно $-24$ метра, не очень физичен и нас не интересует. Сильно упростить эту часть решения можно пренебрегая $\frac{1}{\frac{1}{f} - \frac{1}{F + f + x}} \approx f$. То есть утверждая что глаз всегда находится от окуляра на расстоянии равным его фокусному расстоянию. Это достаточно хорошее приближение, и при наличии должного обоснования оно оценивается полным баллом. В этом случае $x = -3.33$ мм. Таким образом в случае фокусировки на бесконечность для близорукого глаза надо приблизить окуляр к объективу на 3.4 мм.

Далее посмотрим, что нужно для наблюдения здоровым глазом в бинокль объектов, расположенных на расстоянии 5 метров. Рассчитаем расстояние от линзы объектива до новой плоскости изображения, которая теперь будет вместо фокальной плоскости:

То есть нужно отодвинуть окуляр на 8.33 мм от объектива для получения чёткого изображения.

Для близорукого глаза по аналогии с предыдущим придется обратно двигать окуляр к объективу на величину порядка 3–4 мм, что не влияет на искомый диапазон фокусировки. Дальнозоркий глаз снова может наблюдать параллельный пучок.

Получаем что необходимый диапазон фокусировки составляет $3.39 + 8.33 = 11.72$ мм. Конечно здесь не учтены влияния температуры на изменения параметров оптической схемы, поэтому надеемся что вы посоветуете астроному сделать запас под неточность юстировки и температурные деформации. В любом случае необходимый диапазон фокусировки не может быть меньше полученного числа.

Критерии проверки

• Вывод о том, что фокусировку для дальнозоркого глаза менять не надо (с проверкой или без) 2 балла
• Расчёт необходимого расстояния от близорукого глаза до наиболее далёкого от него точечного объекта 1 балл
• Расчёт расстояния от окуляра до глаза 1 балл
• Расчёт смещения окуляра для близорукого глаза 1 балл
• Расчёт смещения окуляра для здорового глаза при наблюдении близких объектов 2 балла
• Правильный конечный ответ 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов

(С. Г. Желтоухов)