МАО 2022, Теория, 11. клас — Задача 7

• $R \approx 9.5R_{\odot}$; температура пылинок $T \approx 725$ K; оптическая толща $\tau \approx 1.2$.

Решение

Для того, чтобы вычислить радиус звезды при известной температуре, надо найти её светимость. Пылевая оболочка вокруг звезды сферически симметричная, значит все направления для системы звезда+оболочка равноправны, и мы можем определить светимость по болометрическому потоку и известному расстоянию — пылинки светят не сами по себе, а переизлучая поглощённую энергию звезды, поэтому сумма излучения пыли и той части энергии звезды, что прошла без поглощения, будет болометрическим потоком энергии центрального источника.

Болометрический поток определим по графику, измерив площадь под кривой распределения энергии. При этом надо обратить внимание на единицы измерения длины волны и освещённости, а так же на то, что график построен в логарифмических осях. У нас получится величина $F = 2.4 \times 10^{-8}$ эрг $\cdot$ см$^{-2}$ $\cdot$ с$^{-1}$ (если забыть перевести мкм в ангстремы, то получится $2.4 \times 10^{-12}$).

Примечание: можно предложить и другой способ вычисления для тех, кто помнит выражение для функции Планка — т.к. оболочка тонкая (все пылинки имеют одну температуру, т.к. находятся на одном расстоянии от звезды) и состоит из чернотельных частиц, мы можем считать, что её излучение можно описать излучением абсолютно черного тела. Определив температуру пылинок (см. ниже), можно вычислить из функции Планка поток от единичной площадки АЧТ в максимуме, найти нормировочную постоянную такую, чтобы это значение совпало с измеренным по графику (примерно $3 \times 10^{-13}$ эрг $\cdot$ см$^{-2}$ $\cdot$ с$^{-1}$ $\cdot$ Å$^{-1}$) и использовать её при вычислении болометрического потока $F = const \cdot \sigma T^4$.

Зная параллакс, найдём расстояние до звезды $D = \pi^{-1} = 500$ пк и вычислим её светимость

или около $190\,L_{\odot}$ ($L_{\odot}$ — светимость Солнца).

Используя связь светимости, температуры и радиуса, найдём радиус звезды:

Если для Солнца взять температуру 6000 K, то получится 10, а если взять чуть ранее еще и светимость Солнца $4 \times 10^{33}$ эрг/с, то получится примерно 9.8 — подобные значения засчитываются как верные. У тех, кто забыл перевести мкм в ангстремы должно получиться значение в 100 раз меньше — примерно 0.1.

Определим температуру пылинок в оболочке. Мы видим, что вклад излучения звезды в излучение оболочки в области максимума очень мал — пренебрежём им. Тогда максимум приходится на длину волны 4 мкм, а значит, температура в соответствии с законом смещения Вина будет равна

Оптическую толщу оболочки можно оценить через отношение болометрического потока энергии от всей системы к той части потока от центральной звезды, что прошла через оболочку не испытав поглощения: $\tau = \ln\frac{F}{F_{\star}}$. Напрямую измерить величину $F_{\star}$ затруднительно, т.к. в ИК-диапазоне превалирует излучение оболочки. Поэтому сделаем наоборот, измерим поток от пылевой оболочки в диапазоне 2-200 мкм (пренебрежём частью излучения, приходящейся на коротковолновый диапазон, т.к. там для температуры 725 K находится виновская область излучения АЧТ и наблюдается резкое падение потока) и вычтем его из полного потока F. Получится, что $F_{\text{оболочки}} = 1.7 \times 10^{-8}$ эрг/см$^2$/с ($1.7 \times 10^{-12}$ эрг/см$^2$/с у тех, кто не перевел мкм в ангстремы). Отсюда $F_{\star} = 0.7 \times 10^{-8}$ эрг/см$^2$/с.

Найденная нами величина оптической толщи оболочки относится к тому диапазону длин волн, на который приходится максимум излучения центральной звезды, который, как видно из графика, попадает на 400 нм. Значит мы нашли величину $\tau$ для видимого диапазона, что и требовалось в условии.

Критерии проверки

• Использование (вычисление) верного расстояния в 500 пк 1 балл
• Верное по способу определение болометрического потока 3 балла (если забыли перевести мкм в ангстремы, то штраф 2 балла, который применяется только 1 раз)
• Вычисление (или использование в дальнейшем) светимости 1 балл
• Вычисление радиуса звезды с верным ответом 2 балла (абсурдное значение радиуса — штраф 2 балла)
• Определение температуры пылинок (в диапазоне 650–800 K) 2 балла
• Верное по способу вычисление оптической толщи 3 балла (при прямом использовании потока от звезды без учёта вклада излучения оболочки — штраф до 3 баллов, в зависимости от метода; при простом суммировании потока в диапазоне 0.1–2 мкм без обсуждения вносимой погрешности с ответом $F_{star} = 6 \times 10^{-9}$ — штраф 1 балл).

Максимальная оценка за задачу 12 баллов

(А. М. Татарников)