МАО 2022, Теория, 11. клас — Задача 8

• а) 164 мм

  Высота полоски не зависит от широты: 164 мм и для 55°, и для 30°.

• 1. M, F, S

• 2. 75 %

• 3. Два случая: примерно 37 дней или примерно 176 дней.

Решение

Чтобы понять, как на полоске бумаги появляется отметка о положении Солнца, нарисуем в проекции на небесный меридиан схему хода луча Солнца, находящегося в верхней кульминации:

Луч Солнца, идущий через центр шара, не изменит своего направления, а для остальных лучей шар будет работать аналогично положительной линзе, собирая свет в пятно на бумаге. В ходе суточного движения пятно будет перемещаться по полоске бумаге, прожигая линию той или иной степени прерывистости (в зависимости от наличия/отсутствия облаков). Чем выше Солнце находится на небе в полдень, тем ниже на полоске будет суточный след. Этим и определяется минимальная высота полоски бумаги, необходимая для того, чтобы на неё мог попасть суточный след в крайних положениях Солнца по высоте над горизонтом: в дни зимнего и летнего солнцестояний. Эти два положения на небе разделяет угол примерно в $23.5 \times 2 = 47^{\circ}$.

Крайние положения показаны на рисунке. Высоту $h$ полоски ЗЛ можно найти разными способами, например, через соотношение длины окружности и длины дуги:

Как мы видим, высота полоски не зависит от широты места наблюдения (до тех пор пока Солнце в полдень кульминирует над горизонтом, что выполняется и для $55^{\circ}$, и для $30^{\circ}$).

Длина части суточного пути Солнца, находящейся над горизонтом, зависит от сезона. Зимой она короче, летом длиннее. Поэтому полоску бумаги можно вырезать соответствующим образом. Экономии бумаги при этом не происходит, т.к. обрезки идут в мусор. Поэтому основная причина в другом — бесполезная часть полоски будет отбрасывать тень в летние дни, когда Солнце восходит (и заходит) в точках горизонта, находящихся севернее точек запада и востока.

Практическая часть

Как видно из схемы расположения следов, «след F» приходится ровно на центр полоски — значит, он был получен во время равноденствия (напомним, что по условия ширина полоски имеет минимально возможное значение, достаточное лишь для того, чтобы при условии прямолинейности следов на ней зафиксировать положение Солнца в течение года — в этом случае по центру полоски проходит как раз солнечный след в дни равноденствий). Прожжённые следы, находящиеся ниже центра, зарегистрированы в те дни, когда Солнце было выше экватора, а те, что находятся выше центра — когда Солнце было ниже экватора. Т.к. начало записей приходится на летний период («след M»), то последовательность будет такой: M, F, S. При этом «след F» — след, оставленный в день осеннего равноденствия.

Прожжённая часть «следа F» занимает ровно 9 часов. День длился 12 ч (равноденствие), значит ясного времени днем было:

Высота бумажной полоски соответствует $47^{\circ}$ на небе. Нетрудно определить расстояние от «следа M» до «следа S» и выразить его в градусах. Это есть разность в высотах Солнца в полдень. В задаче все происходит относительно близко по времени к дню равноденствия. Возможно 2 случая:

• «след M» был записан вскоре после дня весеннего равноденствия или
• он был записан незадолго до дня осеннего равноденствия.

Поэтому у нас будет 2 ответа.

«След M» отстоит от центра полоски на $8.5^{\circ}$. Недалеко от равноденствий можно считать, что склонение Солнца меняется примерно с постоянной скоростью $\frac{360}{365}\sin 23.4 \approx 0.39^{\circ}$/сут (с постепенным уменьшением). Это значит, что «след M» был зафиксирован примерно за 22 дня до или примерно через 22 после равноденствия (осеннего или весеннего, соответственно).

«След S» отстоит от центра полоски на $6^{\circ}$ (выше). Это значит, что «след S» был зафиксирован примерно через $6/0.39 \approx 15$ дней после осеннего равноденствия.

В первом случае между наблюдениями «M» и «S» прошло примерно 37 дней, во втором случае — примерно 176 дней.

Критерии проверки

• Рассмотрение влияния сезонного изменения высоты Солнца 1 балл
• Вычисление высоты полоски с верным ответом 2 балла (с ответом в 2 раза меньшим — 1 балл)
• Вывод, что высота полоски не зависит от широты 1 балл
• Полное верное (через длину суточного пути и экранирование) объяснение почему полоску (чашку) обрезают до 2 баллов (если без длины суточного пути или без экранирования — до 1 балла)
• Верная последовательность регистрации следов с корректным объяснением 2 балла
• Верное вычисление процента ясного неба 2 балла
• Верное вычисление промежутка времени для каждого из случаев по 1 баллу.

Максимальная оценка за задачу 12 баллов

(А. М. Татарников)