Съдържание

МАО 2022, Теория, 9. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2022

76-я Московская астрономическая олимпиада 2022 г. 9 класс · 8 т.

Условие

В двух точках на Земле наблюдали вспышку метеора течение 1.4 секунды. Координаты первой точки равны $56^{\circ}$ с.ш. и $38^{\circ}$ в.д, второй точки — $56^{\circ}$ с.ш. и $39^{\circ}$ в.д. Наблюдатели записали высоту и астрономический азимут начала и конца следа метеора. Их результаты представлены в таблице. Оцените длину следа метеора в километрах и его примерную скорость.

Наблюдатель	Начало		Конец
	Азимут	Высота	Азимут	Высота
1	$90^{\circ}$	$90^{\circ}$	$270^{\circ}$	$50^{\circ}$
2	$90^{\circ}$	$60^{\circ}$	$270^{\circ}$	$90^{\circ}$

Отговори

Решение

Решение

Обе точки наблюдения находятся на одной широте $\varphi$ , а по долготе их разделяет лишь $\Delta\lambda = 1^{\circ}$ . Расстояние между наблюдателями составляет

L = R_{\oplus}\frac{\pi\Delta\lambda}{180^{\circ}}\cos\varphi \approx 62\ \text{км}.

Это очень небольшое расстояние, поэтому мы смело можем пренебречь кривизной земной поверхности. Наблюдатели находятся на линии восток-запад, причем первый наблюдатель — западнее. Оба видят метеор либо над точкой запада, либо точкой востока. Значит метеор также движется вдоль этого направления. Сделаем рисунок.

Схема: горизонтальная линия земли длиной L; из её концов вертикальные пунктирные отрезки Hн (слева, до точки Н) и Hк (справа, до точки К); стрелка D от Н к К; пунктирные линии визирования из концов базы, углы h2 (слева) и h1 (справа) при горизонте.

Поскольку оба наблюдателя видели начало (Н) или конец (К) следа метеора в зените, то легко с помощью прямоугольных треугольников можно рассчитать высоты, на которых загорелся и погас метеор. Пусть $h_1$ — высота над горизонтом, на которой видел начало метеора второй наблюдатель, а $h_2$ — аналогичный угол, под которым первый наблюдатель видел конец следа. Высота начала следа в километрах равна

H_{\text{Н}} = L\operatorname{tg} h_1 = 62\cdot\operatorname{tg}(60^{\circ}) = \sqrt{3}\cdot 62 \approx 107\ \text{км},

а высота его окончания —

H_{\text{К}} = L\operatorname{tg} h_2 = 62\cdot\operatorname{tg}(50^{\circ}) \approx 74\ \text{км}.

Из теоремы Пифагора определяем длину следа

D = \sqrt{L^2 + (H_{\text{Н}} - H_{\text{К}})^2} = \sqrt{62^2 + 33^2} = 70\ \text{км}.

Скорость метеора равна

v = \frac{70\ \text{км}}{1.4\ \text{с}} = 50\ \text{км/с}.

Критерии проверки

Вычисление длины следа метеора оценивается в 6 баллов. Эти баллы распределяются следующим образом:

Вычисление расстояния между наблюдателями — 2 балла (если не учитывается $\cos\varphi$ , то за этот пункт 1 балл, остальные пункты, кроме вычисления скорости метеора оцениваются в полной мере)
Вычисление высоты начала и конца следа — по 1 баллу
Применение теоремы Пифагора — 1 балл
Окончательный ответ — 1 балл

Если участник не вычислял высоты начала и конца следа, а постулировал, что метеоры загораются на высоте 100 (120, …) и гаснут на высоте 80 (90, …) километров, то при правдоподобных числах (от 120 до 70 км) оценки за определение высоты и длины следа не ставятся.

За определение скорости метеора выставляется 2 балла. При незначительной вычислительной ошибке оценка снижается на 1 балл. Если ответ не попадает в диапазон (11–72) км/с, то оценка за эту часть не выставляется.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов

(М. В. Силантьев)

Оригинал в Архива: mos_astro_2022_teor_9_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2022_teor_9_ans.pdf