Съдържание

МАО 2022, Теория, 9. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2022

76-я Московская астрономическая олимпиада 2022 г. 9 класс · 8 т.

Условие

В 2006 году был выделен новый класс объектов Солнечной системы — карликовые планеты. Ими стали Церера, Плутон и Эрида. Упорядочите вышеперечисленные планеты по возрастанию расстояния, которое они преодолели с 2006 по 2021 год. Во сколько раз отличаются расстояния, которые преодолели первая и третья по порядку карликовые планеты, от расстояния, пройденного второй? Считайте, что в это время Плутон был в перигелии своей орбиты, а Эрида — в афелии. Орбиту Цереры считайте круговой.

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет
Церера	2.8	0
Плутон	39	0.25
Эрида	68	0.44

Отговори

Решение

Решение

Для ответа на первый вопрос даже не нужно делать вычисления. Чем дальше планета от Солнца, тем меньше ее средняя скорость. Поэтому Церера движется быстрее всех, а значит проходит самое большое расстояние. Орбиты Плутона и Эриды сильно вытянуты, поэтому скорости этих карликовых планет могут заметно отличаться от средних. Однако, средняя скорость Плутона выше, чем у Эриды, а сам он находится в перигелии орбиты, а значит движется быстрее среднего. Поэтому его можно смело ставить на второе место. Здесь мы также принимаем во внимание тот факт, что периоды обращения Плутона и Эриды очень велики и за истекший срок они прошли лишь малую часть своей орбиты.

Теперь проведем вычисления. Церера будет двигаться с первой космической скоростью:

V_c = \sqrt{\frac{GM_{\odot}}{a_c}} = \sqrt{\frac{6.67\times 10^{-11}\times 2\times 10^{30}}{2.8\times 1.5\times 10^{11}}} \approx 17.8\ \text{км/с}.

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $M_{\odot}$ — масса Солнца, $a_c$ — большая полуось орбиты Цереры. Точно также можем найти круговые скорости Плутона $V_{pl} \approx 4.8$ км/с и Эриды $V_{er} \approx 3.6$ км/с. Скорости в перигелии $V_p$ и афелии $V_a$ орбиты определяются выражениями:

V_p = V\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}; \qquad V_a = V\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}.

Здесь $V$ — круговая скорость. Подставляя значения, получим скорости Плутона $V_{p,pl} \approx 6.2$ км/с и Эриды $V_{a,er} \approx 2.3$ км/с. Итого, Церера прошла за истекший срок расстояние в $17.8/6.2 \approx 2.9$ раза больше Плутона, а Эрида — в $6.2/2.3 \approx 2.7$ раза меньше.

Критерии проверки

Правильное упорядочивание планет — 2 балла
Формула круговой скорости — 1 балл
Вычисление скорости Цереры — 1 балл
Формулы скорости в апсидах — по 1 баллу
Вычисление ответа для Цереры и Эриды — по 1 баллу

Если участник для вычисления использовал средние скорости движения Плутона и Эриды или круговые скорости на расстоянии перигелия Плутона и афелия Эриды, то оценка за формулы скорости в апсидах не выставляется, но остальные пункты оцениваются в полном объёме.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов

(М. В. Силантьев, Е. Н. Фадеев)

Оригинал в Архива: mos_astro_2022_teor_9_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2022_teor_9_ans.pdf