Съдържание

МАО 2023, Теория, 10. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 10 класс · 8 т.

Условие

Технологически развитая цивилизация способна отправить автономный звездолёт-поселение к ближайшей соседней звезде. Звездолёт имеет скорость 10% от скорости света. После прибытия к звезде за время 200 лет экипаж звездолёта построит два аналогичных звездолёта, используя найденное вокруг звезды вещество, а население первого звездолёта увеличится достаточно, чтобы составить команду новых звездолётов. Они отправятся к двум ближайшим звёздам, которые представители этой цивилизации ещё не посещали, и около них история повторится (спустя 200 лет после прибытия от каждой звезды отправятся два новых звездолёта). Необходимо оценить минимальное время, которое потребуется, чтобы звездолёты этой цивилизации побывали около каждой звезды из диска нашей Галактики. Считать, что звёзды в диске распределены однородно.

Отговори

Решение

Решение. Число звёзд, которое посетят звездолёты за $n$ поколений (если первый звездолёт считать первым поколением) даётся суммой:

N(n) = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{n-1} = 2^n - 1.

Для последнего равенства использовалась сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии. Приравняв к числу звёзд в Галактике $N_{\mathrm{s}} = 10^{11}$ и пренебрегая 1, получаем:

n = \log_2 10^{11} = \frac{\lg 10^{11}}{\lg 2} \approx 36.54 < 37.

Таким образом, наименьшее число поколений звездолётов, за которое возможно колонизировать галактику, равно 37.

Теперь нужно найти среднее расстояние, которое будут проходить звездолёты каждого поколения. Время расселения будет минимальным, если расселение будет происходить из центра Галактики. Чтобы минимизировать расстояние, на каждом «шаге» расселения будет максимально плотно заполняться круглая область диска (заселённая область — это круг, все звёзды внутри круга заселены). Радиус этой области $r_i$ найдём из условия однородности распределения звёзд в диске, т.е. из того, что число звёзд в круге пропорционально его площади:

r_i = r_{\mathrm{g}} \sqrt{\frac{N(i)}{N_{\mathrm{s}}}},

где $r_{\mathrm{g}}$ – радиус диска Галактики. Расстояния, проходимые звездолётами на каждом шаге будут лежать в диапазоне от 0 до $r_i$ . Возьмём для оценки среднее, т.е. $r_i/2$ . Тогда итоговая оценка времени расселения будет

t = 200n + \sum_{i=1}^{n} \frac{r_{\mathrm{g}}}{2v} \sqrt{\frac{N(i)}{N_{\mathrm{s}}}} = 200n + \frac{r_{\mathrm{g}}}{2v\sqrt{N_{\mathrm{s}}}} \sum_{i=1}^{n} \left( \sqrt{2} \right)^i =

= 200n + \frac{r_{\mathrm{g}}}{2v\sqrt{N_{\mathrm{s}}}} \frac{2^{\frac{n}{2}} - 1}{\sqrt{2} - 1} \approx 200n + 2.8 \frac{r_{\mathrm{g}}}{v},

где мы использовали, что $N(i) \approx 2^i$ . Считая радиус диска Галактики 20 кпк или 65 тыс. световых лет, получаем, что членом $200n$ можно пренебречь, и итоговый ответ

t \approx 1.8\ \text{млн. лет}.

Это не единственное верное решение, итоговый ответ может зависеть от того, как именно выполняется заполнение Галактики. В частности, в качестве оценки расстояния, проходимого за 1 шаг, можно взять $r_i$ . Тогда ответ увеличится в 2 раза. Возможно, существует более эффективный способ заполнения фрактальным «деревом». Однако принципиально неверным будет ответ $r_{\mathrm{g}}/v$ , при котором не учитывается пространственное распределение звёзд и необходимость заселения всех звёзд. Также неверный ответ $t = 200n = 7400$ лет.

В приведённом выше решении считалось, что распределение звёзд двухмерное. На самом деле, диск Галактики имеет конечную толщину около 1100 св.лет. Поэтому для шагов расселения до 30-го включительно (из условия $r_i = 1100$ св. лет) следовало бы считать распределение трёхмерным, и считать время по более точной формуле:

t = \frac{r_{\mathrm{g}}}{2vN_{\mathrm{s}}^{1/3}} \sum_{i=1}^{30} 2^{i/3} + \frac{r_{\mathrm{g}}}{2vN_{\mathrm{s}}^{1/2}} \sum_{i=31}^{37} 2^{i/2} \approx 3.3 \frac{r_{\mathrm{g}}}{v}.

Однако, учитывая приближённый характер оценки, этого можно не делать.

Критерии проверки

В задаче возможны различные решения, которые могут быть засчитаны как правильные. Ниже приведены ориентировочные вехи решения, которые можно оценить. Обратите внимание на то, что в справочные данные вкралась опечатка в числе звёзд в галактике — $10 \times 10^{11}$ .

Определение числа поколений (с учетом опечатки — 40) — 2 балла
Выбор центра галактики для начала экспансии — 1 балл
Определение среднего расстояния или времени, затрачиваемого на перелёт — 3 балла
Итоговый ответ. Засчитывается при разумных предположениях в предыдущих пунктах — 2 балла

При ответе меньше 650 000 лет (время пересечения галактики по радиусу со скоростью $0.1c$ ) последний этап не засчитывается в любом случае.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(С. В. Пилипенко)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_10_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_10_ans.pdf