Съдържание

МАО 2023, Теория, 10. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 10 класс · 8 т.

Условие

Вокруг далёкой звезды движется звезда-спутник c орбитальным периодом 160 лет. Видимая орбита спутника имеет эллиптическую форму с большой полуосью, равной $0.5''$ , и малой полуосью — $0.35''$ . Главная звезда находится на угловом расстоянии $0.2''$ от центра эллипса на его видимой большой оси. Определите большую полуось (в астрономических единицах), эксцентриситет орбиты системы, наклон орбитальной плоскости к картинной и сумму масс звёзд (в массах Солнца), если параллакс этой двойной равен $0.0125''$ , а линия апсид лежит в картинной плоскости.

Отговори

Решение

Решение. Расстояние до двойной равно $1/0.0125 = 80$ пк. На таком расстоянии под углом $1''$ виден отрезок величиной 80 а.е. Большая полуось орбиты спутника видна под вдвое меньшим углом, следовательно, и её линейный размер в два раза меньше: $a = 40$ а.е.

Зная период $P$ и большую полуось орбиты, определим с помощью 3-го закона Кеплера массу двойной:

M = M_{\odot} \left( \frac{a}{1\ \text{а.е.}} \right)^3 \left( \frac{1\ \text{год}}{T} \right)^2 = \frac{40^3}{160^2} M_{\odot} = 2.5 M_{\odot}.

Расстояние между центром эллиптической орбиты и звездой – это фокусное расстояние $c$ . По определению эксцентриситета:

e = \frac{c}{a} = \frac{0.2''}{0.5''} = 0.4.

При таком эксцентриситете малая полуось эллипса равна $b = a\sqrt{1 - e^2} \approx 37$ а.е., т. е. должна быть видна под углом, $\delta = 37\ \text{а.е.}/80\ \text{пк} \approx 0.46''$ . Тогда угол наклона орбиты равен

i = \arccos \left( \frac{0.35''}{0.46''} \right) \approx 40^{\circ}.

Критерии проверки

Определение расстояния до двойной — 1 балл
Определение величины большой полуоси — 1 балл
Определение эксцентриситета орбиты — 2 балла
Определение наклонения орбиты — 2 балла
Определение массы двойной — 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_10_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_10_ans.pdf